Текстовое решение задач:
| 1B | 2B | 3B | 4B | 5B | 6B | 7B | 8B | 9B | 10B |
| 11B | 12B | 13B | 14B | 15B | 16B | 17B | 18B | 19B | 20B |
| 21B | 22B | 23B | 24B | 25B | 26B | 27B | 28B | 29B | 30B |
| 31B |
ЕГЭ Профиль №14. Площадь сечения
При нахождении угла между двумя плоскостями можно использовать теорему о площади ортогональной проекции многоугольника. При применении этого метода угол φ между плоскостями α и β можно вычислить, используя формулу \(\cos \phi = \frac{{{S_{пр}}}}{S}\), где S — площадь многоугольника, лежащего в плоскости α, \({S_{пр}}\) — площадь его ортогональной проекции на плоскость β. Следовательно, площадь многоугольника, лежащего в плоскости α равна \(S = \frac{{{S_{пр}}}}{{\cos \varphi }}.\)
1В. Точки P и Q — середины рёбер AD и CC1 куба ABCDA1B1C1D1 соответственно.
а) Докажите, что прямые B1P и QB перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку P и перпендикулярной прямой BQ, если ребро куба равно 2.
2В. В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка T так, что AT : TD = 2 : 1. Через точку T параллельно прямым AC и BD проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.
3В. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB = 4, BC = 3, AA1 = 2. Точки P и Q — середины рёбер A1B1 и CC1 соответственно. Плоскость APQ пересекает ребро B1C1 в точке U.
а) Докажите, что B1U : UC1 = 2 : 1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью APQ.
4В. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания AB равна 6, а боковое ребро AA1 равно \(4\sqrt 3 \). На рёбрах AB, A1D1 и C1D1 отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = A1N = C1K = 1.
а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC. Докажите, что MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
5В. Дан прямой круговой конус с вершиной M. Осевое сечение конуса — треугольник с углом \({120^ \circ }\) при вершине M. Образующая конуса равна \(2\sqrt 3 \). Через точку M проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.
а) Докажите, что получившийся в сечении треугольник тупоугольный.
б) Найдите площадь сечения.
6В. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 24, а боковое ребро SA равно 19. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите площадь многоугольника, который является сечением пирамиды SABC плоскостью α.
7В. На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 5 : 3, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 5 : 11, а точка T — середина ребра B1C1. Известно, что \(AB = 6\sqrt 2 \), AD = 10, AA1 = 16.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.
8В. На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E = 6EA. Точка T — середина ребра B1C1. Известно, что \(AB = 4\sqrt 2 \), AD = 12, AA1 = 14.
а) Докажите, что плоскость ETD1 делит ребро BB1 в отношении 4 : 3.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ETD1.
9В. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 4, точка K — середина бокового ребра AP.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной прямым PB и BC.
б) Найдите площадь сечения.
10В. Дана правильная четырехугольная призма ABCDA1B1C1D1. На ребре AA1 отмечена точка K так, что AK : KA1 = 1 : 2. Плоскость α проходит через точки B и K параллельно прямой AC. Эта плоскость пересекает ребро DD1 в точке M.
а) Докажите, что MD : MD1 = 2 : 1
б) Найдите площадь сечения, если AB = 4, AA1 = 6.
11В. На ребре AB правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка Q, причём AQ : QB = 1 : 2. Точка P — середина ребра AS.
а) Докажите, что плоскость DPQ перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б) Найдите площадь сечения DPQ, если площадь сечения DSB равна 6.
12В. В правильной треугольной пирамиде MABC боковые рёбра равны 10, а сторона основания равна 12. Точки G и F делят стороны основания AB и AC соответственно так, что AG : GB = AF : FC = 1 : 5.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MGF является равнобедренным треугольником.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью MGF.
13В. Через вершину S и диагональ BD основания правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF проведена плоскость α.
а) Докажите, что расстояние от центра основания до этой плоскости в три раза меньше расстояния до этой плоскости от точки F.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, если сторона основания равна \(\sqrt 3 \), а угол между боковой гранью и плоскостью основания равен \({60^ \circ }\).
14В. Плоскость α проходит через сторону AB основания ABC правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 и середину ребра B1C1.
а) Пусть M — точка пересечения плоскости α с прямой CC1. Докажите, что C1 — середина отрезка CM.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если все рёбра призмы равны 4.
15В. Плоскость α перпендикулярна основанию правильной треугольной пирамиды SABC с вершиной S и делит стороны AB и BC основания пополам.
а) Докажите, что плоскость α делит боковое ребро в отношении 1 : 3, считая от вершины S.
б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если известно, что сторона основания равна 2, а высота пирамиды равна 4.
16В. Дана правильная четырёхугольная пирамида PABCD с вершиной в точке P. Через точку C и середину ребра AB перпендикулярно к основанию пирамиды проведена плоскость α.
а) Докажите, что плоскость ? делит ребро BP в отношении 2 : 1, считая от точки B.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, если известно, что PA = 10, AC = 16.
17В. В правильной шестиугольной пирамиде с вершиной S стороны основания ABCDEF равны 6, а боковые рёбра равны 12. Точки K и M — середины рёбер и SF и SE соответственно.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью BKM.
б) Найдите площадь полученного сечения.
18В. Точка M — середина ребра CD единичного куба ABCDA1B1C1D1. Через вершину A1 проведена плоскость, параллельная прямым AM и D1M.
а) Докажите, что эта плоскость проходит через середину ребра AB.
б) Найдите площадь сечения куба этой плоскостью.
19В. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 с основаниями ABCD и A1B1C1D1. Точки M и N — середины рёбер AD и CD соответственно, точка K лежит на ребре BB1, причём B1K : KB = 1 : 2.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через точки M, N и K, делит ребро CC1 в отношении 2 : 7, считая от точки C.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда этой плоскостью, если параллелепипед ABCDA1B1C1D1 — правильная четырёхугольная призма, сторона основания ABCD равна \(4\sqrt 2 \), а боковое ребро равно 12.
20В. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 проведено сечение плоскостью, проходящей через середину M ребра AB, точку B1 и точку K, лежащую на ребре AC и делящую его в отношении AK : KC = 1 : 3.
а) Докажите, что эта плоскость проходит через середину ребра A1C1.
б) Найдите площадь сечения, если известно, что сторона основания призмы равна \(4\sqrt 2 \), а высота призмы равна \(8\sqrt 2 \).
21В. Основание четырёхугольной пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра AB параллельно плоскости SAD.
б) Найдите площадь полученного сечения, если площадь грани SAD равна 16.
22В. Основанием пирамиды SABCD с равными боковыми рёбрами является прямоугольник ABCD. Плоскость α проходит через сторону AB основания и середину высоты пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит боковое ребро SD в отношении 1 : 2, считая от вершины S.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, если AB = 6, AD = 8, а высота пирамиды равна 6.
23В. Через середину ребра AB куба ABCDA1B1C1D1 проведена плоскость, параллельная прямым BD1 и A1C1.
а) Докажите, что эта плоскость делит диагональ DB1 в отношении 3 : 5, считая от вершины D.
б) Найдите площадь полученного сечения, если ребро куба равно 4.
24В. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Плоскость α проходит через прямую BA1 параллельно прямой CB1.
а) Докажите, что плоскость α делит диагональ AC1 параллелепипеда в отношении 1 : 2, считая от вершины A.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью α, если он прямой, его основание ABCD — ромб с диагоналями AC = 10 и BD = 8, а боковое ребро параллелепипеда равно 12.
25В. Дана треугольная призма ABCA1B1C1. Плоскость α проходит через прямую BC1 параллельно прямой AB1.
а) Докажите, что плоскость α проходит через середину ребра AC.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если призма правильная, сторона её основания равна \(2\sqrt 3 \), а боковое ребро равно 1.
26В. Все рёбра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 18. Основание O высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS1, M — середина ребра SB, точка L лежит на ребре CD так, что CL : LD = 7 : 2.
а) Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S1LM — равнобедренная трапеция.
б) Найдите площадь этой трапеции.
27В. В правильном тетраэдре ABCD с ребром 10 на ребрах AD, BD и AC выбраны точки K, L и M так, что \(KD = 4,\;MC = 6,\;\;LD = 8.\) Плоскость, проходящая через точки K, L и M, пересекает ребро BC в точке P.
а) Докажите, что \(CP:PB = 9:1\).
б) Найдите площадь четырехугольника MKLP.
28В. В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD со стороной 6. Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер МА и МВ проведена плоскость α, параллельная ребру МС.
а) Докажите, что сечение плоскостью α пирамиды MABC является параллелограмм.
б) Найдите площадь сечения пирамиды МАВС плоскостью α.
29В. В правильной треугольной усеченной пирамиде ABCA1B1C1 площадь нижнего основания ABC в девять раз больше площади меньшего основания A1B1C1. Через ребро AB проведена плоскость α, которая пересекает ребро СС1 в точке N и делит пирамиду на два многогранника равного объёма.
а) Докажите, что точка N делит ребро СС1 в отношении 5 : 13, считая от вершины С1.
б) Найдите площадь сечения усеченной пирамиды плоскостью α, если высота этой пирамиды равна 13, а ребро меньшего основания равно 3.
30В. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 9, а боковое ребро SA равно \(\sqrt {43} \). На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = 8, SK : KB = 7 : 3. Плоскость α перпендикулярна плоскости ABC и содержит точки M и K.
а) Докажите, что плоскость α содержит точку C.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABC плоскостью α.
а) BP – медиана треугольника ABC. 
31В. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD боковое ребро SA равно 12, а сторона основания AB равна 6. В боковых гранях SAB и SAD провели биссектрисы AL и AM соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью ALM делит ребро SC пополам.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью ALM.