ЕГЭ Профиль №14. Объем многогранника
Объем параллелепипеда находится по формуле: \(V = S \cdot H\), где S – площадь основания; H – длина высоты параллелепипеда.
Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны и \({d^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\), где d – длина диагонали; a, b, c – длины трех ребер, выходящих из одной вершины прямого параллелепипеда (измерения прямоугольного параллелепипеда). Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: \(V = a\,b\,c\).
Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом. При этом \(d = a\sqrt 3 \), \(V = {a^3}\), \({S_{\text{пов}}} = 6\,{a^2}\), где d – диагональ куба, a – его ребро.
Объем призмы находится по формуле: \(V = S \cdot H\), где S – площадь основания; H – длина высоты призмы.
Объем пирамиды вычисляется по формуле: \(V = \frac{1}{3}S\,H\), где S – площадь основания; H – длина высоты пирамиды.
Если у пирамиды все боковые ребра равны между собой или наклонены под одним и тем же углом к плоскости основания, то основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды (эта же точка служит точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам основания пирамиды).
Если у пирамиды боковые грани наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в основание (эта же точка служит точкой пересечения биссектрис углов в основании пирамиды).
Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле: \(V = \frac{1}{3}H\left( {\,{S_1} + {S_2} + \sqrt {\,{S_1} \cdot {S_2}} \,} \right)\), где H – высота усеченной пирамиды; \({S_1}\) и \({S_2}\) – площади ее оснований.
1В. В треугольной пирамиде ABCD двугранные углы при ребрах AD и BC равны, AB = BD = DC = AC = 5.
а) Докажите, что AD = BC.
б) Найдите объём пирамиды, если двугранные углы равны при рёбрах AD и BC равны \({60^ \circ }\).
2В. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 30, а боковое ребро SA равно 28. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка C, а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью α.
3В. В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 5. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что A1P : PB1 = 1 : 2, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.
4В. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 6. На рёбрах AA1 и CC1 отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 2, CN = 1.
а) Докажите, что плоскость MNB1 разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
б) Найдите объём тетраэдра MNBB1.
5В. Есть правильная треугольная призма ABCA1B1C1 со стороной основания 12 и высотой 3. Точка K — середина BC, точка L лежит на стороне A1B1 так, что В1L = 5. Точка М — середина A1C1. Через точки K и L проведена плоскость таким образом, что она параллельна прямой AC.
а) Доказать, что указанная выше плоскость перпендикулярна прямой MB.
б) Найти объем пирамиды с вершиной в точке В и у которой основанием является сечение призмы плоскостью.
6В. На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM : BM = CN : NB = 1 : 2. Точки P и Q — середины сторон DA и DC соответственно.
а) Докажите, что P, Q, M и N лежат в плоскости.
б)* Найти отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.
7В. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 6. Точки K, L и M — центры граней ABCD, AA1D1D и CC1D1D соответственно.
а) Докажите, что B1KLM — правильная пирамида.
б) Найдите объём B1KLM.
8В. Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Диагонали боковых граней AA1B1B и BB1C1C равны 15 и 9 соответственно, AB = 13.
а) Докажите, что треугольник BA1C1 прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды AA1C1B.
9В. SABCD — правильная четырёхугольная пирамида с вершиной S. Точка M расположена на SD так, что SM : SD = 2 : 3. P — середина ребра AD, а Q середина ребра BC.
а) Доказать, что сечение пирамиды плоскостью MQP — равнобедренная трапеция.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MQP разбивает пирамиду.
10В. Дана пирамида PABCD, в основании — трапеция ABCD с большим основанием AD. Известно, что сумма углов BAD и ADC равна 90 градусов, а плоскости PAB и PCD перпендикулярны основанию, прямые AB и CD пересекаются в точке K.
а) Доказать, что плоскость PAB перпендикулярна плоскости PCD.
б) Найдите объём PKBC, если AB = BC = CD = 2, а PK = 12.
11В. В треугольной пирамиде PABC с основанием ABC известно, что AB = 13, PB = 15, \(\cos \angle \,PBA = \frac{{48}}{{65}}\). Основанием высоты этой пирамиды является точка C. Прямые PA и BC перпендикулярны.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите объем пирамиды PABC.
12В. Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, AB = AA1.
а) Докажите, что прямые A1C и BD перпендикулярны.
б) Найдите объем призмы, если A1C = BD = 2.
13В. В треугольной пирамиде SABC известны боковые рёбра: SA = SB = 13, \(SC = 3\sqrt {17} \). Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы CM треугольника ABC. Эта высота равна 12.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите объём пирамиды SABC.
14В. Диагональ прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 13, а диагонали двух соседних граней равны \(4\sqrt {10} \) и \(3\sqrt {17} \).
а) Докажите, что треугольник AC1D1 прямоугольный.
б) Найдите объём параллелепипеда.
15В. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна \(4\sqrt 2 \) и образует с боковыми гранями углы \({30^ \circ }\) и \({45^ \circ }\).
а) Докажите, что одна из этих граней — квадрат.
б) Найдите объём параллелепипеда.
16В. Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна 6, а площадь сечения, проходящего через ребро AB и середину бокового ребра CD, равна \(6\sqrt 6 \).
а) Докажите, что плоскость сечения образует с плоскостью основания угол \({45^ \circ }\).
б) Найдите объём пирамиды ABCD.
17В. Сторона основания ABCDEF правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF равна 4, а площадь сечения, проходящего через прямую CF и середину бокового ребра SD, равна \(10\sqrt 3 \).
а) Докажите, что плоскость сечения образует с плоскостью основания угол \({60^ \circ }\).
б) Найдите объём пирамиды SABCDEF.
18В. Точки M и N — середины рёбер соответственно CC1 и B1C1 треугольной призмы ABCA1B1C1 с основаниями ABC и A1B1C1.
а) Докажите, что плоскость BA1M делит отрезок AN в отношении 4 : 3, считая от точки A.
б) В каком отношении плоскость BA1M делит объём призмы?
19В. Точка P — середина медианы BK основания ABC треугольной пирамиды ABCD.
а) Докажите, что плоскость α, проходящая через точку B и середины рёбер AD и CD, делит отрезок DP в отношении 2 : 1, считая от вершины D.
б) Найдите расстояние от вершины C до плоскости ?, если объём пирамиды ABCD равен 16, а площадь её сечения плоскостью α равна 3.
20В. Высота SH правильной треугольной пирамиды SABC относится к высоте основания ABC как 4 : 9. Плоскость α проходит через ребро AB и делит пополам двугранный угол пирамиды при этом ребре.
а) Докажите, что плоскость α делит высоту пирамиды в отношении 3 : 5, считая от точки H.
б) Найдите объём меньшей из частей, на которые пирамида разбивается плоскостью α, если сторона основания пирамиды равна 6.
21В. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Апофема пирамиды вдвое больше стороны основания. Плоскость α проходит через ребро AB и делит пополам двугранный угол пирамиды при этом ребре.
а) Докажите, что плоскость α делит высоту пирамиды в отношении 4 : 1, считая от вершины S.
б) Найдите объём большей из частей, на которые пирамида разбивается плоскостью α, если сторона основания пирамиды равна \(\sqrt {15} \).
22В. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. На лучах AB, AD и AA1 отмечены точки K, L и M соответственно, причём \(AK = \frac{5}{2}AB,\;\;AL = \frac{5}{2}AD\) и \(AM = \frac{5}{2}A{A_1}.\)
а) Докажите, что плоскость KLM делит ребро B1C1 пополам.
б) В каком отношении плоскость KLM делит объём параллелепипеда?
23В. На диагонали BD1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 отмечена точка M, причём BM : MD1 = 1 : 3. Через точку M проведена плоскость α, параллельная прямым AB1 и CB1.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро AB в отношении 1 : 3, считая от вершины A.
б) В каком отношении плоскость α делит объём параллелепипеда?
24В. Точка M — середина ребра B1C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 с основаниями ABC и A1B1C1. Прямые BA1 и CB1 перпендикулярны.
а) Докажите, что треугольник BMA1 равнобедренный.
б) Найдите объём призмы, если расстояние между прямыми BA1 и CB1 равно 2.
25В. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 грань ABCD — квадрат. Точка M лежит на ребре BC, причём CM : MB = 1 : 2. Известно, что диагональ DB1 параллелепипеда перпендикулярна отрезку C1M.
а) Докажите, что угол между прямой CB1 и плоскостью A1B1C1 равен \(30^\circ \).
б) Найдите объём параллелепипеда, если расстояние между прямыми DB1 и C1M равно \(\frac{{\sqrt {21} }}{7}\).
26В. Через середину бокового ребра правильной треугольной пирамиды проведена плоскость α, перпендикулярная этому ребру. Известно, что она пересекает остальные боковые рёбра и разбивает пирамиду на два многогранника, объёмы которых относятся как 1 к 3.
а) Докажите, что плоский угол при вершине пирамиды равен 45°.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, если боковое ребро пирамиды равно 4.
27В. В правильной треугольной усеченной пирамиде ABCA1B1C1 площадь нижнего основания ABC в девять раз больше площади меньшего основания A1B1C1. Через ребро AB проведена плоскость α, которая пересекает ребро СС1 в точке N и делит пирамиду на два многогранника равного объёма.
а) Докажите, что точка N делит ребро СС1 в отношении 5 : 13, считая от вершины С1.
б) Найдите площадь сечения усеченной пирамиды плоскостью α, если высота этой пирамиды равна 13, а ребро меньшего основания равно 3.
28В. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 6, а боковое ребро SA равно 5. На ребрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причем АM = 2, SK = 1.
а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.
б) Найдите объём пирамиды BCKM.
29В. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD из точки В опущен перпендикуляр BH на плоскость SAD.
а) Докажите, что ∠ AHC = 90°.
б) Найдите объём пирамиды, если \(HA = \sqrt 2 \) и HC = 4.