Задача 14. Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трех однородных соосных цилиндров: центрального массой \(m = 8\) кг и радиуса \(R = 10\) см, и двух боковых с массами \(M = 1\) кг и с радиусами \(R + h\). При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в , задается формулой \(I = \frac{{\left( {m + 2M} \right){R^2}}}{2} + M\left( {2Rh + {h^2}} \right)\). При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения ? Ответ выразите в сантиметрах
Решение
Задача сводится к нахождению наибольшего решения следующего неравенства: \(I \leqslant 625.\)
\(\frac{{\left( {8 + 2 \cdot 1} \right) \cdot {{10}^2}}}{2} + 1 \cdot \left( {2 \cdot 10 \cdot h + {h^2}} \right) \leqslant 625\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{h^2} + 20h — 125 \leqslant 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,h \in \left[ { — 25;\,5} \right].\)
Следовательно, наибольшее значение h = 5 см.
Ответ: 5.
|
Задача 15. На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: \({F_A} = \rho \,g\,{l^3}\), где l — длина ребра куба в метрах, — плотность воды, а g — ускорение свободного падения (считайте \(g = 9,8\) Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем 78 400 Н? Ответ выразите в метрах.
Решение
Задача сводится к нахождению наибольшего решения следующего неравенства: \({F_A} \leqslant 78\,400.\)
\(1000 \cdot 9,8 \cdot {l^3} \leqslant 78400\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{l^3} \leqslant 8\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,l \leqslant 2.\)
Следовательно, наибольшее значение l = 2 м.
Ответ: 2.
|
Задача 16. На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: \({F_A} = \alpha \,\rho \,g\,{r^3}\), где \(\alpha = 4,2\) — постоянная, r — радиус аппарата в метрах, — плотность воды, а g — ускорение свободного падения (считайте \(g = 10\) Н/кг). Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше, чем 336 000 Н? Ответ выразите в метрах
Решение
Задача сводится к нахождению наибольшего решения следующего неравенства: \({F_A} \leqslant 336\,000.\)
\(4,2 \cdot 1000 \cdot 10 \cdot {r^3} \leqslant 336000\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{r^3} \leqslant 8\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,r \leqslant 2.\)
Следовательно, наибольшее значение r = 2 м.
Ответ: 2.
|
Задача 17. Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела P, измеряемая в ваттах, прямо пропорциональна площади его поверхности и четвёртой степени температуры: \(P = \sigma \,S\,{T^4}\), где \(\sigma = 5,7 \cdot {10^{ — 8}}\) — постоянная, площадь S измеряется в квадратных метрах, а температура T — в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь \(S = \frac{1}{{16}} \cdot {10^{20}}\)м2, а излучаемая ею мощность P не менее \(9,12 \cdot {10^{25}}\) Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Приведите ответ в градусах Кельвина.
Решение
Задача сводится к решению следующего уравнения:
\(9,12 \cdot {10^{25}} = 5,7 \cdot {10^{ — 8}} \cdot \frac{1}{{16}} \cdot {10^{20}} \cdot {T^4}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{T^4} = \frac{{16 \cdot 9,12 \cdot {{10}^{25}}}}{{5,7 \cdot {{10}^{12}}}}\)
\(T = \sqrt[4]{{\frac{{16 \cdot 912 \cdot {{10}^{12}}}}{{57}}}} = \sqrt[4]{{16 \cdot 16 \cdot {{10}^{12}}}} = 2 \cdot 2 \cdot {10^3} = 4\,000\,\,{\text{K}}{\text{.}}\)
Ответ: 4 000.
|
Задача 18. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием \(f = 30\) см. Расстояние d1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние d2 от линзы до экрана — в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение \(\frac{1}{{{d_1}}} + \frac{1}{{{d_2}}} = \frac{1}{f}\). Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах.
Решение
Так как f = 30 см, то \(\frac{1}{{{d_1}}} + \frac{1}{{{d_2}}} = \frac{1}{{30}}.\) Расстояние от линзы до лампочки d1 должно быть наименьшим, тогда слагаемое \(\frac{1}{{{d_1}}}\) должно принимать наибольшее значение, а слагаемое \(\frac{1}{{{d_2}}}\) соответственно наоборот наименьшее, которое будет получено при наибольшем значении d2. Следовательно, d2 = 180.
\(\frac{1}{{{d_1}}} + \frac{1}{{180}} = \frac{1}{{30}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{1}{{{d_1}}} = \frac{1}{{30}}\, — \frac{1}{{180}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{1}{{{d_1}}} = \frac{1}{{36}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{d_1} = 36\) см.
По условию задачи расстояние d1 от линзы до лампочки меняется в пределах от 30 до 50. Следовательно, найденное значение удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 36.
|
Задача 19. Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой \({f_0} = 440\) Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону \(f\left( v \right) = \frac{{{f_0}}}{{1 — \frac{v}{c}}}\) (Гц), где c — скорость звука в (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 10 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а \(c = 315\) м/с. Ответ выразите в м/с.
Решение
Так как частота второго гудка f больше первого и человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, то задача сводится к решению рационального неравенства: \(f\left( v \right) \geqslant 440 + 10 = 450.\)
\(\frac{{440}}{{1 — \frac{v}{{315}}}} \geqslant 450\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\frac{{440}}{{450}} \geqslant 1 — \frac{v}{{315}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{v}{{315}} \geqslant 1 — \frac{{44}}{{45}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\frac{v}{{315}} \geqslant \frac{1}{{45}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,v \geqslant 7\) м/с.
Следовательно, наименьшая скорость тепловоза v = 7 м/с.
Ответ: 7.
|
Задача 20. По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна \(I = \frac{\varepsilon }{{R + r}}\), где \(\varepsilon \) — ЭДС источника (в вольтах), \(r = 1\) Ом — его внутреннее сопротивление, R — сопротивление цепи (в Омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более \(20\% \) от силы тока короткого замыкания? (Ответ выразите в Омах.)
Решение
По условию задачи сила тока должна составлять не более 20% от силы тока короткого замыкания, то есть \(I \leqslant {I_{k3}} \cdot \frac{{20}}{{100}}.\)
\(\frac\varepsilon{{R{\text{ + 1}}}} \leqslant \frac\varepsilon{1} \cdot \frac{1}{5}\,\,|\,:\,\varepsilon > 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{1}{{R + 1}} \leqslant \frac{1}{5}\,\,|\, \cdot 5\left( {R + 1} \right) > 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,R + 1 \geqslant 5\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,R \geqslant 4\) Ом.
Следовательно, наименьшее сопротивление цепи R = 4 Ом.
Ответ: 4.
|
Задача 21. Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: \(I = \frac{U}{R}\), где U — напряжение в вольтах, R — сопротивление электроприбора в Омах. В электросеть включен предохранитель, который плавится, если сила тока превышает 4 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ выразите в Омах.
Решение
Задача сводится к решению неравенства: \(I \leqslant 4\,{\text{A}}{\text{.}}\)
\(\frac{{220}}{R} \leqslant 4\,\,|\, \cdot \,R > 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,220 \leqslant 4R\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,R \geqslant 55\) Ом.
Следовательно, наименьшее сопротивление R = 55 Ом.
Ответ: 55.
|
Задача 22. Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы, определяемой по формуле \(A\left( \omega \right) = \frac{{{A_0}\,\omega _p^2}}{{\left| {\,\omega _p^2 — {\omega ^2}\,} \right|}}\), где \(\omega \) — частота вынуждающей силы (в \({{\text{c}}^{ — 1}}\)), \({A_0}\) — постоянный параметр, \(\omega _p^{} = 360\,{{\text{c}}^{ — 1}}\) — резонансная частота. Найдите максимальную частоту \(\omega \), меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину \({A_0}\) не более чем на 12,5%. Ответ выразите в \({{\text{c}}^{ — 1}}\)
Решение
Так как амплитуда колебаний A(ω) должна превосходить величину А0 не более чем на 12,5%, то должно выполняться неравенство:
\(A\left( \omega \right) \leqslant {A_0} \cdot \frac{{112,5}}{{100}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{A{_0}\omega _p^2}}{{\left| {\,\omega _p^2 — \omega _{}^2} \right|}} \leqslant {A_0} \cdot 1,125\,\,|\,\,:\,\,{A_0} > 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{\omega _p^2}}{{\left| {\,\omega _p^2 — \omega _{}^2} \right|}} \leqslant 1\frac{1}{8}.\)
По условию задачи \(\omega < {\omega _p}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,{\omega _p} > \omega \,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\omega _p^2 > {\omega ^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\omega _p^2 — {\omega ^2}\, > 0\).
Поэтому: \(\left| {\omega _p^2 — {\omega ^2}} \right|\, > \omega _p^2 — {\omega ^2}.\)
\(\,\frac{{\omega _p^2}}{{\omega _p^2 — \omega _{}^2}} \leqslant \frac{9}{8}\,\,|\,\, \cdot \,8\left( {\omega _p^2 — \omega _{}^2} \right) > 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,8\omega _p^2 \leqslant 9 \cdot \omega _p^2 — 9\omega _{}^2\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,9\omega _{}^2 \leqslant \omega _p^2\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\(\omega _{}^2 \leqslant \frac{{\omega _p^2}}{9}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\omega \leqslant \frac{{{\omega _p}}}{3}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\omega \leqslant \frac{{360}}{3}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\omega \leqslant 120\,{c^{ — 1}}.\)
Следовательно, максимальная частота ω = 120 с-1.
Ответ: 120.
|
Задача 23. В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет \({R_1} = 90\) Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление \({R_2}\) этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями \({R_1}\) Ом и \({R_2}\) Ом их общее сопротивление дается формулой (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 9 Ом. Ответ выразите в Омах.
Решение
Задача сводится к решению следующего неравенства: Rобщ ≥ 9 Ом и нахождению наименьшего значения R2 при заданном R1 = 90 Ом.
\(\frac{{90{R_2}}}{{90 + {R_2}}} \geqslant 9\,\,|\,\, \cdot \left( {90 + {R_2}} \right) > 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,90{R_2} \geqslant 810 + 9{R_2}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,81{R_2} \geqslant 810\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{R_2} \geqslant 10\) Ом.
Следовательно, наименьшее значение R2 = 10 Ом.
Ответ: 10.
|
Задача 24. Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой \(\eta = \frac{{{T_1} — {T_2}}}{{{T_1}}} \cdot 100\% \), где \({T_1}\) — температура нагревателя (в градусах Кельвина), \({T_2}\) — температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя \({T_1}\) КПД этого двигателя будет не меньше 15%, если температура холодильника \({T_2} = 340\) К? Ответ выразите в градусах Кельвина.
Решение
Задача сводится к решению следующего неравенства: \(\eta \geqslant 15\% \) и нахождению наименьшего значения T1 при заданном T2 = 340 K.
\(\frac{{{T_1} — 340}}{{{T_1}}} \cdot 100 \geqslant 15\,\,|\, \cdot {T_1} > 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,100{T_1} — 34000 \geqslant 15{T_1}\,\, \Leftrightarrow \,\,85{T_1} \geqslant 34000\,\, \Leftrightarrow \,\,{T_1} \geqslant 400\)K.
Следовательно, наименьшее значение T1 = 400 K.
Ответ: 400.
|
Задача 25. Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению количества теплоты, затраченного на нагревание воды массой (в килограммах) от температуры \({t_1}\) до температуры \({t_2}\) (в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному от сжигания дров массы кг. Он определяется формулой , где Дж/(кгК) — теплоёмкость воды, Дж/кг — удельная теплота сгорания дров. Определите наименьшее количество дров, которое понадобится сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть \(m = 83\) кг воды от \({10^ \circ }{\text{C}}\) до кипения, если известно, что КПД кормозапарника не больше 21%. Ответ выразите в килограммах
Решение
Задача сводится к решению следующего неравенства: \(\eta \leqslant 21\% \) и нахождению наименьшего значения mдр.
\(\frac{{4,2 \cdot {{10}^3} \cdot 83 \cdot \left( {100 — 10} \right)}}{{8,3 \cdot {{10}^6} \cdot m}} \cdot 100 \leqslant 21\,\,|\, \cdot m > 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\frac{{42 \cdot {{10}^3} \cdot 83 \cdot 9 \cdot {{10}^2}}}{{83 \cdot {{10}^5}}} \leqslant 21m\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,42 \cdot 9 \leqslant 21m\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,m \geqslant 18\) кг.
Следовательно, наименьшее значение m = 18 кг.
Ответ: 18.
|
Задача 26. Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу \(m = 1260\) тонн представляют собой две пустотелые балки длиной \(l = 18\) метров и шириной s метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой \(p = \frac{{m\,g}}{{2\,l\,s}}\), где m — масса экскаватора (в тоннах), l — длина балок в метрах, s — ширина балок в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте \(g = 10\) м/с). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление p не должно превышать 140 кПа. Ответ выразите в метрах.
Решение
Задача сводится к решению следующего неравенства: \(p \leqslant 140\)кПа и нахождению наименьшего значения s.
\(\frac{{1260 \cdot 10}}{{2 \cdot 18 \cdot s}} \leqslant 140\,\,|\, \cdot s > 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,350 \leqslant 140\;s\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,s \geqslant 2,5\)м.
Следовательно, наименьшее значение s = 2,5 м.
Ответ: 2,5.
|
Задача 27. К источнику с ЭДС \(\varepsilon = 55\) В и внутренним сопротивлением \(r = 0,5\) Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, дается формулой \(U = \frac{{\varepsilon \,R}}{{R + r}}\). При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 50 В? Ответ выразите в Омах.
Решение
Задача сводится к решению следующего неравенства: \(U \geqslant 50\) В и нахождению наименьшего значения R.
\(\frac{{55 \cdot R}}{{R + 0,5}} \geqslant 50\,\,|\, \cdot \left( {R + 0,5} \right) > 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,55R \geqslant 50R + 25\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,R \geqslant 5\) Ом.
Следовательно, наименьшее значение R = 5 Ом.
Ответ: 5.
|
Задача 28. При сближении источника и приёмника звуковых сигналов движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу частота звукового сигнала, регистрируемого приемником, не совпадает с частотой исходного сигнала \({f_0} = 150\) Гц и определяется следующим выражением: \(f = {f_0}\frac{{c + u}}{{c — v}}\) (Гц), где c — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а \(u = 10\) м/с и \(v = 15\) м/с — скорости приемника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приемнике f будет не менее 160 Гц?
Решение
Задача сводится к решению следующего неравенства: \(f \geqslant 160\) Гц и нахождению наибольшего значения с.
\(150 \cdot \frac{{c + 10}}{{c — 15}} \geqslant 160\,\,|\, \cdot \left( {c — 15} \right) > 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,150c + 1500 \geqslant 160c — 2400\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,c \leqslant 390\) м/с.
Следовательно, наибольшее значение с = 390 м/с.
Ответ: 390.
|
Задача 29. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 749 МГц. Скорость спуска батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле \(v = c\frac{{f — {f_0}}}{{f + {f_0}}}\), где \(c = 1500\) м/с — скорость звука в воде, \({f_0}\) — частота испускаемых импульсов (в МГц), f — частота отраженного от дна сигнала, регистрируемая приемником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отраженного сигнала f, если скорость погружения батискафа не должна превышать 2 м/с.
Решение
Задача сводится к решению следующего неравенства: \(v \leqslant 2\) м/c и нахождению наибольшего значения f.
\(1500 \cdot \frac{{f — 749}}{{f + 749}} \leqslant 2\,\,|\, \cdot \frac{{f + 749}}{2} > 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,750f — 750 \cdot 749 \leqslant f + 749\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,749f \leqslant 750 \cdot 749 + 749\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,749f \leqslant 751 \cdot 749\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,f \leqslant 751\) МГц.
Следовательно, наибольшее значение f = 751 МГц.
Ответ: 751.
|
Задача 30. Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной l км с постоянным ускорением a км/ч, вычисляется по формуле \({v^2} = 2\,l\,a\). Определите, с какой наименьшей скоростью будет двигаться автомобиль на расстоянии 1 километра от старта, если по конструктивным особенностям автомобиля приобретаемое им ускорение не меньше 5000 км/ч2. Ответ выразите в км/ч.
Решение
Так как \(a = \frac{{{v^2}}}{{2\,\,l}}\), то задача сводится к решению неравенства: \(a \geqslant 5000\) км/ч2 и нахождению наименьшего значения v.
\(\frac{{{v^2}}}{{2 \cdot 1}} \geqslant 5000\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,{v^2} \geqslant 10000\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,v \geqslant 100\) км/ч.
Следовательно, наименьшее значение v = 100 км/ч.
Ответ: 100.
|
Задача 31. Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление P (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле \(P = \frac{{4\,m\,g}}{{\pi \,{D^2}}}\), где \(m = 1200\) кг — общая масса навеса и колонны, D — диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с2, а \(\pi = 3\), определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше 400000 Па. Ответ выразите в метрах.
Решение
Задача сводится к решению неравенства: \(P \leqslant 400000\) Па и нахождению наименьшего значения D.
\(\frac{{4 \cdot 1200 \cdot 10}}{{3 \cdot {D^2}}} \leqslant 400000\,|\, \cdot \,{D^2} > 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,4 \cdot 4 \leqslant 400{D^2}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{D^2} \geqslant \frac{1}{{25}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,D \geqslant 0,2\) м.
Следовательно, наименьшее значение D = 0,2 м.
Ответ: 0,2.
|
Задача 32. Автомобиль, масса которого равна \(m = 2160\) кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение t секунд остается неизменным, и проходит за это время путь \(S = 500\) метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно \(F = \frac{{2\,m\,S}}{{{t^2}}}\). Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдет указанный путь, если известно, что сила F, приложенная к автомобилю, не меньше 2400 Н. Ответ выразите в секундах
Решение
Задача сводится к решению неравенства: \(F \geqslant 2400\) Н и нахождению наибольшего значения t.
\(\frac{{2 \cdot 2160 \cdot 500}}{{{t^2}}} \geqslant 2400\,\,|\, \cdot \,{t^2} > 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,21600 \geqslant 24{t^2}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{t^2} \leqslant 900\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,t \leqslant 30\) c.
Следовательно, наибольшее значение t = 30 c.
Ответ: 30.
|
Задача 33. На рисунке изображена схема вантового моста. Вертикальные пилоны связаны провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами. Введём систему координат: ось Oy направим вертикально вдоль одного из пилонов, а ось Ox направим вдоль полотна моста, как показано на рисунке. В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста, задаётся формулой \(y = 0,005{x^2} — 0,74x + 25\), где x и y измеряются в метрах. Найдите длину ванты, расположенной в 30 метрах от пилона. Ответ дайте в метрах.
Решение
Вычислим длину ванты на расстоянии 30 метров от пилона, то есть найдём y (30).
\(y\left( {30} \right) = 0,005 \cdot {30^2} — 0,74 \cdot 30 + 25 = 4,5 — 22,2 + 25 = 7,3\) м.
Ответ: 7,3.
|