ЕГЭ Профиль №7. Рациональные уравнения и неравенства

Задача 1. При температуре \({0^ \circ }{\text{C}}\) рельс имеет длину \({l_0} = 10\) м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону \(l\left( {{t^ \circ }} \right) = {l_0}\left( {1 + \alpha \cdot {t^ \circ }} \right)\), где \(\alpha = 1,2 \cdot {10^{ — 5}}{\left( {{}^ \circ {\text{C}}} \right)^{ — 1}}\) — коэффициент теплового расширения, \({t^ \circ }\) — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Ответ

ОТВЕТ: 25.

Решение

l – длина рельса. Так как рельс должен удлиниться на 3 мм, то его длина будет равна: l = 10 м + 3 мм = 10 м + 0,003 м = 10,003 м.

\(10,003 = 10\left( {1 + 1,2 \cdot {{10}^{ — 5}} \cdot {t^ \circ }} \right)\)

\(10,003 = 10 + 12 \cdot {10^{ — 5}} \cdot {t^ \circ }\)

\(12 \cdot {10^{ — 5}} \cdot {t^ \circ } = 0,003\)

\({t^ \circ } = \frac{{0,003}}{{12 \cdot {{10}^{ — 5}}}} = \frac{{0,003 \cdot {{10}^5}}}{{12}} = \frac{{300}}{{12}} = 25\)

Ответ: 25.

Задача 2. Некоторая компания продает свою продукцию по цене \(p = 500\) руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют \(v = 300\) руб., постоянные расходы предприятия \(f = 700\,\,000\) руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле \( \pi\left( q \right) = q\left( {p — v} \right) — f. \) Определите наименьший месячный объeм производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 300 000 руб.

Ответ

ОТВЕТ: 5 000.

Решение

\(\pi \left( q \right)\) – операционная прибыль предприятия должна быть не меньше 300 000 руб. Следовательно,

\(\pi \left( q \right) \geqslant 300\,\,000\)

\(q\left( {500 — 300} \right) — 700\,\,000 \geqslant 300\,\,000\)

\(200\,q \geqslant 1\,\,000\,\,000\)

\(q \geqslant 5\,\,000\)

Наименьший месячный объём производства: \(q = 5\,\,000.\)

Ответ: 5 000.

Задача 3. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле \(h = 5\,{t^2}\), где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,6 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Решение

До дождя время падения камешков: \({t_1} = 0,6\,\,c.\) Тогда до дождя расстояние до воды:

\({h_1} = 5 \cdot {0,6^2} = 1,8\,\) м.

Так как уровень воды после дождя поднялся, то время падения камешков уменьшится на 0,2 с; то есть: \({t_2} = 0,6 — 0,2 = 0,4\,\,c.\)

Тогда после дождя расстояние до воды:

\({h_2} = 5 \cdot {0,4^2} = 0,8\,\) м.

Следовательно, уровень воды должен подняться на:

\(\vartriangle h = {h_1} — {h_2} = 1,8 — 0,8 = 1\,\) м.

Ответ: 1.

Задача 4. Зависимость объeма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаeтся формулой \(q = 100 — 10p\). Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле \(r\left( p \right) = q \cdot p\). Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка \(r\left( p \right)\) составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Ответ

ОТВЕТ: 6.

Решение

Задача сводится к решению неравенства:

\(r\left( p \right) \geqslant 240;\,\,\,\,\,\,q \cdot p \geqslant 240;\,\,\,\,p\left( {100 — 10p} \right) \geqslant 240\)

\( — 10{p^2} + 100p — 240 \geqslant 0\,\,|\,\,:\,\left( { — 10} \right)\)

\({p^2} — 10p + 24 \leqslant 0\)

\({p^2} — 10p + 24 = 0;\,\,\,\,{p_1} = 4,\,\,\,\,\,{p_2} = 6\)

Следовательно, \(p \in \left[ {4;\,6} \right]\). Наибольшая цена p = 6 тыс. рублей.

Ответ: 6.

Задача 5. Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону \(h\left( t \right) = 1,6 + 8t — 5{t^2}\), где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трeх метров?

Ответ

ОТВЕТ: 1,2.

Решение

Так как мяч должен находиться на высоте не менее трёх метров, то задача сводится к решению неравенства: \(h\left( t \right) \geqslant 3\).

\(1,6 + 8t — 5{t^2} \geqslant 3\)

\(5{t^2} — 8t + 1,4 \leqslant 0\)

\(5{t^2} — 8t + 1,4 = 0;\,\,\,\,\,\,{t_1} = 0,2,\,\,\,\,\,\,{t_2} = 1,4\)

Следовательно, \(t \in \left[ {0,2;\,1,4} \right]\) и мяч будет находиться на высоте не менее трёх метров: \(\vartriangle t = 1,4 — 0,2 = 1,2\,\,c.\)

Ответ: 1,2.

Задача 6. Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна \(P = m\left( {\frac{{{v^2}}}{L} — g} \right)\), где m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведёрка в м/с, L — длина верёвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте \(g = 10\) м/с²). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна 40 см? Ответ выразите в м/с.

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Решение

Вода не будет выливаться, если \(P\left( v \right) \geqslant 0.\) Следовательно, задача сводится к решению неравенства: \(m\left( {\frac{{{v^2}}}{L} — g} \right) \geqslant 0\). Так как m > 0, то \(\frac{{{v^2}}}{L} — g \geqslant 0\), где g = 10 м/c² и L = 40 см = 0,4 м.

\(\frac{{{v^2}}}{{0,4}} — 10 \geqslant 0;\,\,\,\,\,\,\,\,{v^2} \geqslant 4\)

Следовательно, \(v \in \left( { — \infty ;\, — 2} \right] \cup \left[ {2;\,\infty } \right)\), но так как v > 0, то \(v \in \left[ {2;\,\infty } \right)\). Наименьшая скорость v = 2 м/с.

Ответ: 2.

Задача 7. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону \(H\left( t \right) = {H_0} — \sqrt {2g{H_0}} \,k\,t + \frac{g}{2}{k^2}{t^2}\), где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, \({H_0} = 20\) м — начальная высота столба воды, \(k = \frac{1}{{50}}\) — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g — ускорение свободного падения (считайте \(g = 10\) м/с²). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды?

Ответ

ОТВЕТ: 50.

Решение

Так как в баке должна остаться четверть первоначального объёма воды, то \(H = \frac{1}{4}{H_0} = \frac{1}{4} \cdot 20 = 5\).

\(\frac{g}{2}{k^2}{t^2} — \sqrt {2g{H_0}} \,k\,t + {H_0} = H\)

Пусть k t = x. Тогда: \(\frac{{10}}{2}{x^2} — \sqrt {2 \cdot 10 \cdot 20} \,x + 20 = 5\)

\(5{x^2} — 20\,x + 15 = 0\,\,|\,\,:\,\,\,5\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^2} — 4\,x + 3 = 0\,\)

\({x_1} = 1;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_2} = 3\)

\(k\,t = 1;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k\,t = 3\)

\(\frac{1}{{50}}\,t = 1;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{{50}}\,t = 3\)

\(\,{t_1} = 50;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{t_2} = 150\)

Следовательно, через t₁ = 50 с в баке останется четверть первоначального объёма.

Ответ: 50

Замечание: Почему не подходит t₂ = 150 с? Если в исходную формулу вместо H подставить 0, то есть определить за какое время вода полностью вытечет из бака, то получим t = 100. Следовательно, через 100 секунд в баке не останется воды. Поэтому t₂ = 150 с не подходит.

Задача 8. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону \(H\left( t \right) = a\,{t^2} + b\,t + {H_0}\), где \({H_0} = 4\) м — начальный уровень воды, \(a = \frac{1}{{100}}\) м/мин², и \(b = — \frac{2}{5}\) м/мин — постоянные, t — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

Ответ

ОТВЕТ: 20.

Решение

Так как спрашивают в течение какого времени вода будет вытекать из бака, то H = 0. Следовательно, задача сводится к решению квадратного уравнения:

\(\frac{1}{{100}}{t^2} — \frac{2}{5}t + 4 = 0\,\,|\, \cdot \,100\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,{t^2} — 40t + 400 = 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,t = 20.\)

Следовательно, за 20 минут вся вода вытечет из бака.

Ответ: 20.

Задача 9. Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полeта камня описывается формулой \(y = a\,{x^2} + b\,x\), где \(a = — \frac{1}{{100}}\) м^-1, \(b = 1\) — постоянные параметры, x (м) — смещение камня по горизонтали, y (м) — высота камня над землeй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

Ответ

ОТВЕТ: 90.

Решение

Высота стены равна 8 м. Так как камни должны пролетать над стеной на высоте не менее 1 метра, то задача сводится к решению неравенства: \(y \geqslant 8 + 1 = 9\)

\( — \frac{1}{{100}}{x^2} + x \geqslant 9\,\,|\, \cdot \,\left( { — 100} \right)\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{x^2} — 100x + 900 \leqslant 0\,\)

\({x^2} — 100x + 900 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{x_1} = 10;\,\,\,\,\,\,{x_2} = 90\)

Следовательно, \(x \in \left[ {10;\,90} \right]\) и наибольшее расстояние на котором нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра равно 90 метров.
Ответ: 90.

Задача 10. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур определяется выражением \(T\left( t \right) = {T_0} + b\,t + a\,{t^2}\), где t — время в минутах, \({T_0} = 1400\) К, \(a\, = — 10\) К/мин², \(b = 200\,\) К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1760 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Решение

Определим когда температура нагревателя будем не более 1 760 К. Для этого необходимо решить неравенство: \(T\left( t \right) \leqslant 1760.\)

\(1400 + 200t — 10{t^2} \leqslant 1760\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\, — 10{t^2} + 200t — 360 \leqslant 0\,\,|\,:\,\left( { — 10} \right)\)

\({t^2} — 20t + 36 \geqslant 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,t \in \left( { — \infty ;\,2} \right] \cup \left[ {18;\,\infty } \right).\)

Через 2 минуты после включения прибор нагреется до 1760 К, и при дальнейшем нагревании может испортиться. Таким образом, наибольшее время после начала работы когда прибор нужно отключить это 2 минуты.

Ответ: 2.

Задача 11. Для сматывания кабеля на заводе используют лебедку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону \(\varphi = \omega \,t + \frac{{\beta \,{t^2}}}{2}\), где t — время в минутах, — начальная угловая скорость вращения катушки, а — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки \(\varphi \) достигнет \({1200^ \circ }\). Определите время после начала работы лебедки, не позже которого рабочий должен проверить еe работу. Ответ выразите в минутах.

Ответ

ОТВЕТ: 20.

Решение

Задача сводится к решению следующего неравенства: \(\varphi \leqslant 1200.\)

\(20t + \frac{{4{t^2}}}{2} \leqslant 1200\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{t^2} + 10t — 600 \leqslant 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,t \in \left[ { — 30;\,20} \right].\)

Следовательно, не позже чем через 20 минут рабочий должен проверить работу лебёдки.

Ответ: 20.

Задача 12. Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью \({v_0} = 57\) км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением \(a = 12\) км/ч². Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением \(S = {v_0}t + \frac{{a\,{t^2}}}{2}\). Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 30 км от города. Ответ выразите в минутах.

Ответ

ОТВЕТ: 30.

Решение

Мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если \(S \leqslant 30.\) Следовательно, задача сводится к решению следующего неравенства:

\(57t + \frac{{12{t^2}}}{2} \leqslant 30\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2{t^2} + 19t — 10 \leqslant 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,t \in \left[ { — 10;\,0,5} \right].\)

Так как \(t \geqslant 0,\) то \(t \in \left[ {0;\,0,5} \right].\) Следовательно, наибольшее время t = 0,5 ч = 30 минут.

Ответ: 30.

Задача 13. Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью \({v_0} = 20\) м/с, начал торможение с постоянным ускорением \(a = 5\) м/с². За t секунд после начала торможения он прошёл путь \(S = {v_0}t — \frac{{a\,{t^2}}}{2}\)(м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 30 метров. Ответ выразите в секундах.

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Решение

Задача сводится к решению следующего квадратного уравнения:

\(30 = 20t — \frac{{5{t^2}}}{2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{t^2} — 8t + 12 = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{t_1} = 2,\,\,\,\,{t_2} = 6.\)

Следовательно, через 2 секунды автомобиль проедет 30 метров.

Ответ: 2.

Замечание: Почему не подходит t₂ = 6 с? Автомобиль остановится в тот момент, когда будет пройден наибольший путь: \(S = 20t — \frac{{5{t^2}}}{2}.\) Парабола, направленная ветвями вверх, достигнет наибольшего значения в вершине: \({t_0} = — \frac{b}{{2a}} = — \frac{{20}}{{2 \cdot \left( { — 2,5} \right)}} = 4.\) Следовательно, через 4 секунды автомобиль остановится, поэтому t₂ = 6 с не подходит.

Задача 14. Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трех однородных соосных цилиндров: центрального массой \(m = 8\) кг и радиуса \(R = 10\) см, и двух боковых с массами \(M = 1\) кг и с радиусами \(R + h\). При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в , задается формулой \(I = \frac{{\left( {m + 2M} \right){R^2}}}{2} + M\left( {2Rh + {h^2}} \right)\). При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения ? Ответ выразите в сантиметрах

Ответ

ОТВЕТ: 5.

Решение

Задача сводится к нахождению наибольшего решения следующего неравенства: \(I \leqslant 625.\)

\(\frac{{\left( {8 + 2 \cdot 1} \right) \cdot {{10}^2}}}{2} + 1 \cdot \left( {2 \cdot 10 \cdot h + {h^2}} \right) \leqslant 625\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{h^2} + 20h — 125 \leqslant 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,h \in \left[ { — 25;\,5} \right].\)

Следовательно, наибольшее значение h = 5 см.

Ответ: 5.

Задача 15. На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: \({F_A} = \rho \,g\,{l^3}\), где l — длина ребра куба в метрах, — плотность воды, а g — ускорение свободного падения (считайте \(g = 9,8\) Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем 78 400 Н? Ответ выразите в метрах.

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Решение

Задача сводится к нахождению наибольшего решения следующего неравенства: \({F_A} \leqslant 78\,400.\)

\(1000 \cdot 9,8 \cdot {l^3} \leqslant 78400\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{l^3} \leqslant 8\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,l \leqslant 2.\)

Следовательно, наибольшее значение l = 2 м.

Ответ: 2.

Задача 16. На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: \({F_A} = \alpha \,\rho \,g\,{r^3}\), где \(\alpha = 4,2\) — постоянная, r — радиус аппарата в метрах, — плотность воды, а g — ускорение свободного падения (считайте \(g = 10\) Н/кг). Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше, чем 336 000 Н? Ответ выразите в метрах

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Решение

Задача сводится к нахождению наибольшего решения следующего неравенства: \({F_A} \leqslant 336\,000.\)

\(4,2 \cdot 1000 \cdot 10 \cdot {r^3} \leqslant 336000\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{r^3} \leqslant 8\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,r \leqslant 2.\)

Следовательно, наибольшее значение r = 2 м.

Ответ: 2.

Задача 17. Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела P, измеряемая в ваттах, прямо пропорциональна площади его поверхности и четвёртой степени температуры: \(P = \sigma \,S\,{T^4}\), где \(\sigma = 5,7 \cdot {10^{ — 8}}\) — постоянная, площадь S измеряется в квадратных метрах, а температура T — в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь \(S = \frac{1}{{16}} \cdot {10^{20}}\)м², а излучаемая ею мощность P не менее \(9,12 \cdot {10^{25}}\) Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Приведите ответ в градусах Кельвина.

Ответ

ОТВЕТ: 4 000.

Решение

Задача сводится к решению следующего уравнения:

\(9,12 \cdot {10^{25}} = 5,7 \cdot {10^{ — 8}} \cdot \frac{1}{{16}} \cdot {10^{20}} \cdot {T^4}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{T^4} = \frac{{16 \cdot 9,12 \cdot {{10}^{25}}}}{{5,7 \cdot {{10}^{12}}}}\)

\(T = \sqrt[4]{{\frac{{16 \cdot 912 \cdot {{10}^{12}}}}{{57}}}} = \sqrt[4]{{16 \cdot 16 \cdot {{10}^{12}}}} = 2 \cdot 2 \cdot {10^3} = 4\,000\,\,{\text{K}}{\text{.}}\)

Ответ: 4 000.

Задача 18. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием \(f = 30\) см. Расстояние d₁ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние d₂ от линзы до экрана — в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение \(\frac{1}{{{d_1}}} + \frac{1}{{{d_2}}} = \frac{1}{f}\). Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ

ОТВЕТ: 36.

Решение

Так как f = 30 см, то \(\frac{1}{{{d_1}}} + \frac{1}{{{d_2}}} = \frac{1}{{30}}.\) Расстояние от линзы до лампочки d₁ должно быть наименьшим, тогда слагаемое \(\frac{1}{{{d_1}}}\) должно принимать наибольшее значение, а слагаемое \(\frac{1}{{{d_2}}}\) соответственно наоборот наименьшее, которое будет получено при наибольшем значении d₂. Следовательно, d₂ = 180.

\(\frac{1}{{{d_1}}} + \frac{1}{{180}} = \frac{1}{{30}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{1}{{{d_1}}} = \frac{1}{{30}}\, — \frac{1}{{180}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{1}{{{d_1}}} = \frac{1}{{36}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{d_1} = 36\) см.

По условию задачи расстояние d₁ от линзы до лампочки меняется в пределах от 30 до 50. Следовательно, найденное значение удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 36.

Задача 19. Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой \({f_0} = 440\) Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону \(f\left( v \right) = \frac{{{f_0}}}{{1 — \frac{v}{c}}}\) (Гц), где c — скорость звука в (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 10 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а \(c = 315\) м/с. Ответ выразите в м/с.

Ответ

ОТВЕТ: 7.

Решение

Так как частота второго гудка f больше первого и человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, то задача сводится к решению рационального неравенства: \(f\left( v \right) \geqslant 440 + 10 = 450.\)

\(\frac{{440}}{{1 — \frac{v}{{315}}}} \geqslant 450\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\frac{{440}}{{450}} \geqslant 1 — \frac{v}{{315}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{v}{{315}} \geqslant 1 — \frac{{44}}{{45}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\frac{v}{{315}} \geqslant \frac{1}{{45}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,v \geqslant 7\) м/с.

Следовательно, наименьшая скорость тепловоза v = 7 м/с.

Ответ: 7.

Задача 20. По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна \(I = \frac{\varepsilon }{{R + r}}\), где \(\varepsilon \) — ЭДС источника (в вольтах), \(r = 1\) Ом — его внутреннее сопротивление, R — сопротивление цепи (в Омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более \(20\% \) от силы тока короткого замыкания? (Ответ выразите в Омах.)

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Решение

По условию задачи сила тока должна составлять не более 20% от силы тока короткого замыкания, то есть \(I \leqslant {I_{k3}} \cdot \frac{{20}}{{100}}.\)

\(\frac\varepsilon{{R{\text{ + 1}}}} \leqslant \frac\varepsilon{1} \cdot \frac{1}{5}\,\,|\,:\,\varepsilon > 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{1}{{R + 1}} \leqslant \frac{1}{5}\,\,|\, \cdot 5\left( {R + 1} \right) > 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,R + 1 \geqslant 5\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,R \geqslant 4\) Ом.

Следовательно, наименьшее сопротивление цепи R = 4 Ом.

Ответ: 4.

Задача 21. Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: \(I = \frac{U}{R}\), где U — напряжение в вольтах, R — сопротивление электроприбора в Омах. В электросеть включен предохранитель, который плавится, если сила тока превышает 4 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ выразите в Омах.

Ответ

ОТВЕТ: 55.

Решение

Задача сводится к решению неравенства: \(I \leqslant 4\,{\text{A}}{\text{.}}\)

\(\frac{{220}}{R} \leqslant 4\,\,|\, \cdot \,R > 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,220 \leqslant 4R\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,R \geqslant 55\) Ом.

Следовательно, наименьшее сопротивление R = 55 Ом.

Ответ: 55.

Задача 22. Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы, определяемой по формуле \(A\left( \omega \right) = \frac{{{A_0}\,\omega _p^2}}{{\left| {\,\omega _p^2 — {\omega ^2}\,} \right|}}\), где \(\omega \) — частота вынуждающей силы (в \({{\text{c}}^{ — 1}}\)), \({A_0}\) — постоянный параметр, \(\omega _p^{} = 360\,{{\text{c}}^{ — 1}}\) — резонансная частота. Найдите максимальную частоту \(\omega \), меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину \({A_0}\) не более чем на 12,5%. Ответ выразите в \({{\text{c}}^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 120.

Решение

Так как амплитуда колебаний A(ω) должна превосходить величину А₀ не более чем на 12,5%, то должно выполняться неравенство:

\(A\left( \omega \right) \leqslant {A_0} \cdot \frac{{112,5}}{{100}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{A{_0}\omega _p^2}}{{\left| {\,\omega _p^2 — \omega _{}^2} \right|}} \leqslant {A_0} \cdot 1,125\,\,|\,\,:\,\,{A_0} > 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{\omega _p^2}}{{\left| {\,\omega _p^2 — \omega _{}^2} \right|}} \leqslant 1\frac{1}{8}.\)

По условию задачи \(\omega < {\omega _p}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,{\omega _p} > \omega \,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\omega _p^2 > {\omega ^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\omega _p^2 — {\omega ^2}\, > 0\).

Поэтому: \(\left| {\omega _p^2 — {\omega ^2}} \right|\, > \omega _p^2 — {\omega ^2}.\)

\(\,\frac{{\omega _p^2}}{{\omega _p^2 — \omega _{}^2}} \leqslant \frac{9}{8}\,\,|\,\, \cdot \,8\left( {\omega _p^2 — \omega _{}^2} \right) > 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,8\omega _p^2 \leqslant 9 \cdot \omega _p^2 — 9\omega _{}^2\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,9\omega _{}^2 \leqslant \omega _p^2\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\(\omega _{}^2 \leqslant \frac{{\omega _p^2}}{9}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\omega \leqslant \frac{{{\omega _p}}}{3}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\omega \leqslant \frac{{360}}{3}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\omega \leqslant 120\,{c^{ — 1}}.\)

Следовательно, максимальная частота ω = 120 с^-1.

Ответ: 120.

Задача 23. В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет \({R_1} = 90\) Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление \({R_2}\) этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями \({R_1}\) Ом и \({R_2}\) Ом их общее сопротивление дается формулой (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 9 Ом. Ответ выразите в Омах.

Ответ

ОТВЕТ: 10.

Решение

Задача сводится к решению следующего неравенства: R_общ≥ 9 Ом и нахождению наименьшего значения R₂ при заданном R₁ = 90 Ом.

\(\frac{{90{R_2}}}{{90 + {R_2}}} \geqslant 9\,\,|\,\, \cdot \left( {90 + {R_2}} \right) > 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,90{R_2} \geqslant 810 + 9{R_2}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,81{R_2} \geqslant 810\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{R_2} \geqslant 10\) Ом.

Следовательно, наименьшее значение R₂ = 10 Ом.

Ответ: 10.

Задача 24. Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой \(\eta = \frac{{{T_1} — {T_2}}}{{{T_1}}} \cdot 100\% \), где \({T_1}\) — температура нагревателя (в градусах Кельвина), \({T_2}\) — температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя \({T_1}\) КПД этого двигателя будет не меньше 15%, если температура холодильника \({T_2} = 340\) К? Ответ выразите в градусах Кельвина.

Ответ

ОТВЕТ: 400.

Решение

Задача сводится к решению следующего неравенства: \(\eta \geqslant 15\% \) и нахождению наименьшего значения T₁ при заданном T₂ = 340 K.

\(\frac{{{T_1} — 340}}{{{T_1}}} \cdot 100 \geqslant 15\,\,|\, \cdot {T_1} > 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,100{T_1} — 34000 \geqslant 15{T_1}\,\, \Leftrightarrow \,\,85{T_1} \geqslant 34000\,\, \Leftrightarrow \,\,{T_1} \geqslant 400\)K.

Следовательно, наименьшее значение T₁ = 400 K.

Ответ: 400.

Задача 25. Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению количества теплоты, затраченного на нагревание воды массой (в килограммах) от температуры \({t_1}\) до температуры \({t_2}\) (в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному от сжигания дров массы кг. Он определяется формулой , где Дж/(кгК) — теплоёмкость воды, Дж/кг — удельная теплота сгорания дров. Определите наименьшее количество дров, которое понадобится сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть \(m = 83\) кг воды от \({10^ \circ }{\text{C}}\) до кипения, если известно, что КПД кормозапарника не больше 21%. Ответ выразите в килограммах

Ответ

ОТВЕТ: 18.

Решение

Задача сводится к решению следующего неравенства: \(\eta \leqslant 21\% \) и нахождению наименьшего значения m_др.

\(\frac{{4,2 \cdot {{10}^3} \cdot 83 \cdot \left( {100 — 10} \right)}}{{8,3 \cdot {{10}^6} \cdot m}} \cdot 100 \leqslant 21\,\,|\, \cdot m > 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\frac{{42 \cdot {{10}^3} \cdot 83 \cdot 9 \cdot {{10}^2}}}{{83 \cdot {{10}^5}}} \leqslant 21m\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,42 \cdot 9 \leqslant 21m\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,m \geqslant 18\) кг.

Следовательно, наименьшее значение m = 18 кг.

Ответ: 18.

Задача 26. Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу \(m = 1260\) тонн представляют собой две пустотелые балки длиной \(l = 18\) метров и шириной s метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой \(p = \frac{{m\,g}}{{2\,l\,s}}\), где m — масса экскаватора (в тоннах), l — длина балок в метрах, s — ширина балок в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте \(g = 10\) м/с). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление p не должно превышать 140 кПа. Ответ выразите в метрах.

Ответ

ОТВЕТ: 2,5.

Решение

Задача сводится к решению следующего неравенства: \(p \leqslant 140\)кПа и нахождению наименьшего значения s.

\(\frac{{1260 \cdot 10}}{{2 \cdot 18 \cdot s}} \leqslant 140\,\,|\, \cdot s > 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,350 \leqslant 140\;s\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,s \geqslant 2,5\)м.

Следовательно, наименьшее значение s = 2,5 м.

Ответ: 2,5.

Задача 27. К источнику с ЭДС \(\varepsilon = 55\) В и внутренним сопротивлением \(r = 0,5\) Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, дается формулой \(U = \frac{{\varepsilon \,R}}{{R + r}}\). При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 50 В? Ответ выразите в Омах.

Ответ

ОТВЕТ: 5.

Решение

Задача сводится к решению следующего неравенства: \(U \geqslant 50\) В и нахождению наименьшего значения R.

\(\frac{{55 \cdot R}}{{R + 0,5}} \geqslant 50\,\,|\, \cdot \left( {R + 0,5} \right) > 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,55R \geqslant 50R + 25\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,R \geqslant 5\) Ом.

Следовательно, наименьшее значение R = 5 Ом.

Ответ: 5.

Задача 28. При сближении источника и приёмника звуковых сигналов движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу частота звукового сигнала, регистрируемого приемником, не совпадает с частотой исходного сигнала \({f_0} = 150\) Гц и определяется следующим выражением: \(f = {f_0}\frac{{c + u}}{{c — v}}\) (Гц), где c — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а \(u = 10\) м/с и \(v = 15\) м/с — скорости приемника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приемнике f будет не менее 160 Гц?

Ответ

ОТВЕТ: 390.

Решение

Задача сводится к решению следующего неравенства: \(f \geqslant 160\) Гц и нахождению наибольшего значения с.

\(150 \cdot \frac{{c + 10}}{{c — 15}} \geqslant 160\,\,|\, \cdot \left( {c — 15} \right) > 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,150c + 1500 \geqslant 160c — 2400\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,c \leqslant 390\) м/с.

Следовательно, наибольшее значение с = 390 м/с.

Ответ: 390.

Задача 29. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 749 МГц. Скорость спуска батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле \(v = c\frac{{f — {f_0}}}{{f + {f_0}}}\), где \(c = 1500\) м/с — скорость звука в воде, \({f_0}\) — частота испускаемых импульсов (в МГц), f — частота отраженного от дна сигнала, регистрируемая приемником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отраженного сигнала f, если скорость погружения батискафа не должна превышать 2 м/с.

Ответ

ОТВЕТ: 751.

Решение

Задача сводится к решению следующего неравенства: \(v \leqslant 2\) м/c и нахождению наибольшего значения f.

\(1500 \cdot \frac{{f — 749}}{{f + 749}} \leqslant 2\,\,|\, \cdot \frac{{f + 749}}{2} > 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,750f — 750 \cdot 749 \leqslant f + 749\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,749f \leqslant 750 \cdot 749 + 749\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,749f \leqslant 751 \cdot 749\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,f \leqslant 751\) МГц.

Следовательно, наибольшее значение f = 751 МГц.

Ответ: 751.

Задача 30. Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной l км с постоянным ускорением a км/ч, вычисляется по формуле \({v^2} = 2\,l\,a\). Определите, с какой наименьшей скоростью будет двигаться автомобиль на расстоянии 1 километра от старта, если по конструктивным особенностям автомобиля приобретаемое им ускорение не меньше 5000 км/ч². Ответ выразите в км/ч.

Ответ

ОТВЕТ: 100.

Решение

Так как \(a = \frac{{{v^2}}}{{2\,\,l}}\), то задача сводится к решению неравенства: \(a \geqslant 5000\) км/ч² и нахождению наименьшего значения v.

\(\frac{{{v^2}}}{{2 \cdot 1}} \geqslant 5000\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,{v^2} \geqslant 10000\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,v \geqslant 100\) км/ч.

Следовательно, наименьшее значение v = 100 км/ч.

Ответ: 100.

Задача 31. Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление P (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле \(P = \frac{{4\,m\,g}}{{\pi \,{D^2}}}\), где \(m = 1200\) кг — общая масса навеса и колонны, D — диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с², а \(\pi = 3\), определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше 400000 Па. Ответ выразите в метрах.

Ответ

ОТВЕТ: 0,2.

Решение

Задача сводится к решению неравенства: \(P \leqslant 400000\) Па и нахождению наименьшего значения D.

\(\frac{{4 \cdot 1200 \cdot 10}}{{3 \cdot {D^2}}} \leqslant 400000\,|\, \cdot \,{D^2} > 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,4 \cdot 4 \leqslant 400{D^2}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{D^2} \geqslant \frac{1}{{25}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,D \geqslant 0,2\) м.

Следовательно, наименьшее значение D = 0,2 м.

Ответ: 0,2.

Задача 32. Автомобиль, масса которого равна \(m = 2160\) кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение t секунд остается неизменным, и проходит за это время путь \(S = 500\) метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно \(F = \frac{{2\,m\,S}}{{{t^2}}}\). Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдет указанный путь, если известно, что сила F, приложенная к автомобилю, не меньше 2400 Н. Ответ выразите в секундах

Ответ

ОТВЕТ: 30.

Решение

Задача сводится к решению неравенства: \(F \geqslant 2400\) Н и нахождению наибольшего значения t.

\(\frac{{2 \cdot 2160 \cdot 500}}{{{t^2}}} \geqslant 2400\,\,|\, \cdot \,{t^2} > 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,21600 \geqslant 24{t^2}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{t^2} \leqslant 900\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,t \leqslant 30\) c.

Следовательно, наибольшее значение t = 30 c.

Ответ: 30.

Задача 33. На рисунке изображена схема вантового моста. Вертикальные пилоны связаны провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами. Введём систему координат: ось Oy направим вертикально вдоль одного из пилонов, а ось Ox направим вдоль полотна моста, как показано на рисунке. В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста, задаётся формулой \(y = 0,005{x^2} — 0,74x + 25\), где x и y измеряются в метрах. Найдите длину ванты, расположенной в 30 метрах от пилона. Ответ дайте в метрах.

Ответ

ОТВЕТ: 7,3.

Решение

Вычислим длину ванты на расстоянии 30 метров от пилона, то есть найдём y (30).

\(y\left( {30} \right) = 0,005 \cdot {30^2} — 0,74 \cdot 30 + 25 = 4,5 — 22,2 + 25 = 7,3\) м.

Ответ: 7,3.