Скачать файл в формате pdf.


ЕГЭ Профиль №8. Иррациональные уравнения и неравенства

Задача 1. Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной l км с постоянным ускорением a км/ч2, вычисляется по формуле \(v = \sqrt {2\,l\,a} \). Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав один километр, приобрести скорость не менее 100 км/ч. Ответ выразите в км/ч2.

Ответ

ОТВЕТ: 5000.

Решение

Задача сводится к решению следующего неравенства:  \(v \geqslant 100\)  при  l = 1 км.

\(\sqrt {2 \cdot 1 \cdot a}  \geqslant 100\)

Возведём обе части неравенства в квадрат:

\(2a \geqslant 10\;000\,\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\;a \geqslant 5\;000\)

Следовательно, наименьшее значение a = 5 000 км/ч2.

Ответ: 5 000.

Задача 2. При движении ракеты еe видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону \(l = {l_0}\sqrt {1 — \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} \), где \({l_0} = 5\) м — длина покоящейся ракеты, \(c = 3 \cdot {10^5}\) км/с — скорость света, а v — скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы еe наблюдаемая длина стала не более 4 м? Ответ выразите в км/с.

Ответ

ОТВЕТ: 180000.

Решение

Задача сводится к решению следующего неравенства:  \(l \leqslant 4\).

\(5 \cdot \sqrt {1 — \frac{{{v^2}}}{{{{\left( {3 \cdot {{10}^5}} \right)}^2}}}}  \leqslant 4\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\sqrt {1 — \frac{{{v^2}}}{{{{\left( {3 \cdot {{10}^5}} \right)}^2}}}}  \leqslant \frac{4}{5}\)

Возведём обе части неравенства в квадрат:

\(1 — \frac{{{v^2}}}{{{{\left( {3 \cdot {{10}^5}} \right)}^2}}} \leqslant \frac{{16}}{{25}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{{v^2}}}{{{{\left( {3 \cdot {{10}^5}} \right)}^2}}} \geqslant \frac{9}{{25}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{v}{{3 \cdot {{10}^5}}} \geqslant \frac{3}{5}\)

\(v \geqslant \frac{{3 \cdot 3 \cdot {{10}^5}}}{5}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,v \geqslant 180\,000\)

Следовательно, наименьшее  значение  v = 180 000 км/с.

Ответ: 180 000.

Задача 3. Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте h м над землeй, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле \(l = \sqrt {\frac{{R\,h}}{{500}}} \), где \(R = 6400\) км — радиус Земли. На какой наименьшей высоте следует располагаться наблюдателю, чтобы он видел горизонт на расстоянии не менее 4 километров? Ответ выразите в метрах

Ответ

ОТВЕТ: 1,25.

Решение

Задача сводится к решению уравнения  l = 4  при заданном значении R:

\(\sqrt {\frac{{6400h}}{{500}}}  = 4\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,8\sqrt {\frac{h}{5}}  = 4\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {\frac{h}{5}}  = \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{h}{5} = \frac{1}{4}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,h = 1,25\) м.

Ответ: 1,25.

Замечание:  Обращаем внимание, что в данной формуле h выражено в метрах (внимательно читай условие задачи).

Задача 4. Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землей, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле \(l = \sqrt {\frac{{R\,h}}{{500}}} \), где \(R = 6400\) км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4,8 км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до 6,4 километров?

Ответ

ОТВЕТ: 1,4.

Решение

Определим, на какой высоте находится наблюдатель, если он видит горизонт на расстоянии 4,8 км. Для этого решим уравнение  l = 4,8.

\(\sqrt {\frac{{6400h}}{{500}}}  = 4,8\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,8\sqrt {\frac{h}{5}}  = 4,8\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sqrt {\frac{h}{5}}  = 0,6\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{h}{5} = 0,36\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{h_1} = 1,8\) м.

Определим, на какую высоту необходимо подняться наблюдателю, чтобы увидеть горизонт на расстоянии 6,4 км. Для этого решим уравнение  l = 6,4.

\(\sqrt {\frac{{6400h}}{{500}}}  = 6,4\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,8\sqrt {\frac{h}{5}}  = 6,4\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sqrt {\frac{h}{5}}  = 0,8\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{h}{5} = 0,64\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{h_2} = 3,2\) м.

Следовательно, наблюдателю необходимо подняться на  \(\Delta h = {h_2} — {h_1} = 3,2 — 1,8 = 1,4\) м.

Ответ: 1,4.

Замечание:  Обращаем внимание, что в данной формуле h выражено в метрах (внимательно читай условие задачи).

Задача 5. Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землeй, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле \(l = \sqrt {\frac{{R\,h}}{{500}}} \), где \(R = 6400\) км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4,8 км. К пляжу ведет лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 20 см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее 6,4 километров?

Ответ

ОТВЕТ: 7.

Решение

Определим, на какой высоте находится наблюдатель, если он видит горизонт на расстоянии 4,8 км. Для этого решим уравнение  l = 4,8.

\(\sqrt {\frac{{6400h}}{{500}}}  = 4,8\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,8\sqrt {\frac{h}{5}}  = 4,8\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sqrt {\frac{h}{5}}  = 0,6\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{h}{5} = 0,36\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{h_1} = 1,8\) м.

Определим, на какую высоту необходимо подняться наблюдателю, чтобы увидеть горизонт на расстоянии 6,4 км. Для этого решим уравнение  l = 6,4.

\(\sqrt {\frac{{6400h}}{{500}}}  = 6,4\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,8\sqrt {\frac{h}{5}}  = 6,4\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sqrt {\frac{h}{5}}  = 0,8\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{h}{5} = 0,64\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{h_2} = 3,2\) м.

Следовательно, наблюдателю необходимо подняться на  \(\Delta h = {h_2} — {h_1} = 3,2 — 1,8 = 1,4\) м = 140 см. 

Так как высота одной ступеньки равна 20 см, то ему необходимо подняться на  140 : 20 = 7 ступенек.

Ответ: 7.

Замечание:  Обращаем внимание, что в данной формуле h выражено в метрах (внимательно читай условие задачи).