Скачать файл в формате pdf.


ЕГЭ Профиль №8. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства

Задача 1. При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон \(p\,{V^k} = const\), где p — давление в газе в паскалях, V — объем газа в кубических метрах. В ходе эксперимента с одноатомным идеальным газом (для него \(k = \frac{5}{3}\)) из начального состояния, в котором , газ начинают сжимать. Какой наибольший объем V может занимать газ при давлениях p не ниже \(3,2 \cdot {10^6}\) Па? Ответ выразите в кубических метрах.

Ответ

ОТВЕТ: 0,125.

Решение

Задача сводится к решению уравнения:  \(p \cdot {v^k} = {10^5},\)  где   \(k = \frac{5}{3}\)  и  \(p = 3,2 \cdot {10^6}.\)

\(3,2 \cdot {10^6} \cdot {v^{\frac{5}{3}}} = {10^5}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{v^{\frac{5}{3}}} = \frac{{{{10}^5}}}{{3,2 \cdot {{10}^6}}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{v^{\frac{5}{3}}} = \frac{1}{{32}}.\)

Возведём обе части последнего уравнения в степень \(\frac{3}{5}:\)

\({\left( {{v^{\frac{5}{3}}}} \right)^{\frac{3}{5}}}\; = {\left( {\frac{1}{{{2^5}}}} \right)^{\frac{3}{5}}}\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\;v = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,v = 0,125.\)

Следовательно, наибольшее значение  v = 0,125 м3.

Ответ: 0,125.

Задача 2. В ходе распада радиоактивного изотопа, его масса уменьшается по закону \(m\left( t \right) = {m_0} \cdot {2^{ — \frac{t}{T}}}\), где \({m_0}\) — начальная масса изотопа, t (мин) — прошедшее от начального момента время, T — период полураспада в минутах. В лаборатории получили вещество, содержащее в начальный момент времени \({m_0} = 40\) мг изотопа Z, период полураспада которого \(T = 10\) мин. В течение скольких минут масса изотопа будет не меньше 5 мг?

Ответ

ОТВЕТ: 30.

Решение

Задача сводится к решению следующего неравенства:  \(m \geqslant 5\).

\(40 \cdot {2^{ — \,\,\frac{t}{{10}}}}\, \geqslant 5\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{2^{ — \,\,\frac{t}{{10}}}}\, \geqslant \frac{1}{8}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{2^{ — \,\,\frac{t}{{10}}}}\, \geqslant {2^{ — 3}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\, — \,\,\frac{t}{{10}} \geqslant  — 3\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,t \leqslant 30.\)

Следовательно, в течение   t = 30 мин  масса изотопа будет не меньше  5 мг.

Ответ: 30.

Задача 3. Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде \(p\,{V^a} = const\), где p (Па) — давление в газе, V — объем газа в кубических метрах, a — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение вдвое раз объема газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 4 раза?

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Решение

Пусть p1 и v1  — начальные, а p2 и v2 — конечные значения объема и давления газа, соответственно. Из условия  \(p \cdot {v^a} = const\)  следует, что:

\({p_1} \cdot v_1^a = {p_2} \cdot v_2^a\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}} = \frac{{v_1^a}}{{v_2^a}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}} = {\left( {\frac{{{v_1}}}{{{v_2}}}} \right)^a}.\)

Следовательно, задача сводится к решению следующего неравенства  \(\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}} \geqslant 4\)  при условии, что  \(\frac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = 2.\)

\({\left( {\frac{{{v_1}}}{{{v_2}}}} \right)^a} \geqslant 4\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{2^a} \geqslant 4\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{2^a} \geqslant {2^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a \geqslant 2.\)

Следовательно, наименьшее значение  a = 2.

Ответ: 2.

Задача 4. Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением \({p_1}\,V_1^{1,4} = {p_2}\,V_2^{1,4}\), где  \({p_1}\,\)и \({p_2}\) — давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, \(V_1^{}\) и \(V_2^{}\) — объём газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен 1,6 л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 128 атмосфер? Ответ дайте в литрах

Ответ

ОТВЕТ: 0,05.

Решение

Задача сводится к решению уравнения \({p_1}\,V_1^{1,4} = {p_2}\,V_2^{1,4}\)  при условии, что V1 = 1,6,  p1 = 1,  p2 = 128  и  \(1,4 = \frac{7}{5}.\)

\(1 \cdot {1,6^{\frac{7}{5}}} = 128 \cdot V_2^{\frac{7}{5}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,V_2^{\frac{7}{5}} = \frac{{{{1,6}^{\frac{7}{5}}}}}{{128}}.\)

Возведём обе части последнего уравнения в степень \(\frac{5}{7}:\)

\({\left( {V_2^{\frac{7}{5}}} \right)^{\frac{5}{7}}} = {\left( {\frac{{{{1,6}^{\frac{7}{5}}}}}{{128}}} \right)^{\frac{5}{7}}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{V_2} = \frac{{{{\left( {{{1,6}^{\frac{7}{5}}}} \right)}^{\frac{5}{7}}}}}{{{{\left( {{2^7}} \right)}^{\frac{5}{7}}}}} = \frac{{1,6}}{{{2^5}}} = \frac{{1,6}}{{32}} = 0,05.\)

Следовательно, газ нужно сжать до объёма  V = 0,05 л.

Ответ: 0,05.

Задача 5. Eмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре  \(C = 2 \cdot {10^{ — 6}}\) Ф. Параллельно с конденсатором подключен резистор с сопротивлением \(R = 5 \cdot {10^6}\) Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе \({U_0} = 16\) кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением \(t = \alpha \,R\,C\;{\log _2}\frac{{{U_0}}}{U}\) (с), где \(\alpha  = 0,7\) — постоянная. Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 21 с?

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Решение

Задача сводится к решению неравенства  \(t \geqslant 21.\)

\(0,7 \cdot 5 \cdot {10^6} \cdot 2 \cdot {10^{ — 6}} \cdot {\log _2}\frac{{16}}{U} \geqslant 21\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,7 \cdot {10^6}^{ — 6} \cdot {\log _2}\frac{{16}}{U} \geqslant 21\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\log _2}\frac{{16}}{U} \geqslant 3\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{\log _2}\frac{{16}}{U} \geqslant {\log _2}8\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{16}}{U} \geqslant 8\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,U \leqslant 2.\)

Следовательно, наибольшее значение  U = 2 В.

Ответ: 2.

Задача 6. Для обогрева помещения, температура в котором равна , через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой . Расход проходящей через трубу воды \(m = 0,3\) кг/с. Проходя по трубе расстояние x (м), вода охлаждается до температуры \(T\left( {{}^ \circ C} \right)\), причем  (м), где  — теплоемкость воды,  — коэффициент теплообмена, а \(\alpha  = 0,7\) — постоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 84 м?

Ответ

ОТВЕТ: 30.

Решение

Задача сводится к решению уравнения  x = 84.

\(0,7 \cdot \frac{{4200 \cdot 0,3}}{{21}} \cdot {\log _2}\frac{{60 — 20}}{{T — 20}} = 84\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,42 \cdot {\log _2}\frac{{40}}{{T — 20}} = 84\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\log _2}\frac{{40}}{{T — 20}} = 2\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{40}}{{T — 20}} = 4\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,T — 20 = 10\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,T = 30.\)

Следовательно, вода охладится до  T = 30°C.

Ответ: 30.

Задача 7. Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени  \(\nu  = 3\) моля воздуха объемом \({V_1} = 8\) л, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объема \({V_2}\). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением \(A = \alpha \,\nu \,T\,{\log _2}\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\) (Дж), где \(\alpha  = 5,75\) постоянная, а \(T = 300\) К — температура воздуха. Какой объем \({V_2}\) (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10350 Дж?

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Решение

Задача сводится к решению уравнения  A = 10 350.

\(5,75 \cdot 3 \cdot 300 \cdot {\log _2}\frac{8}{{{V_2}}} = 10\,350\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\log _2}\frac{8}{{{V_2}}} = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{8}{{{V_2}}} = 4\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{V_2} = 2.\)

Следовательно, воздух будет занимать объём  V = 2 л.

Ответ: 2.

Задача 8. Находящийся в воде водолазный колокол, содержащий \(\nu  = 2\) моля воздуха при давлении \({p_1} = 1,5\) атмосферы, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением \(A = \alpha \,\nu \,T\,{\log _2}\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}}\) (Дж), где \(\alpha  = 5,75\) — постоянная, \(T = 300\) К — температура воздуха, \({p_1}\) (атм) — начальное давление, а \({p_2}\) (атм) — конечное давление воздуха в колоколе. До какого наибольшего давления \({p_2}\) можно сжать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха совершается работа не более чем 6900 Дж? Ответ приведите в атмосферах.

Ответ

ОТВЕТ: 6.

Решение

Задача сводится к решению неравенства  \(A \leqslant 6\,900.\)

\(5,75 \cdot 2 \cdot 300 \cdot {\log _2}\frac{{{p_2}}}{{1,5}} \leqslant 6\,900\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,11,5 \cdot {\log _2}\frac{{{p_2}}}{{1,5}} \leqslant 21\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\log _2}\frac{{{p_2}}}{{1,5}} \leqslant 2\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\log _2}\frac{{{p_2}}}{{1,5}} \leqslant {\log _2}4\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{{p_2}}}{{1,5}} \leqslant 4\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{p_2} \leqslant 6.\)

Следовательно, наибольшее значение  p2 = 6 атмосфер.

Ответ: 6.