Алгебра 10-11 класс. Расположение корней квадратного трехчлена относительно данных чисел
Решение многих задач с параметрами сводится к исследованию квадратного трехчлена. Для решения некоторых задач этого вида достаточно исследования дискриминанта и применение теоремы Виета. В данном разделе будут рассмотрены задачи связанные с исследованием расположения корней квадратного трехчлена относительно заданных чисел, для решения которых будут использованы материалы, изученные в предыдущем разделе: Исследование дискриминанта и применение теоремы Виета.
Приведем формулировки некоторых утверждений о расположении корней квадратного трехчлена.
Теорема 1. Пусть числа \({x_1}\) и \({x_2}\) корни квадратного трехчлена (положим \({x_1} < {x_2}\)) \(f\left( x \right) = a\,{x^2} + b\,x + c,\)
у которого \(D = {b^2} — 4ac > 0,\quad \quad a \ne 0,\)
и даны A и B – некоторые точки на оси Ox. Тогда являются истинными следующие утверждения.
- Оба корня меньше числа A, т.е. \({x_1} < A\) и \({x_2} < A,\) тогда и только тогда, когда
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0,} \\ {{x_0} = — \frac{b}{{2a}} < A,} \\ {f\left( A \right) > 0} \end{array}\quad \quad } \right.\)или\(\quad \quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 0,} \\ {{x_0} = — \frac{b}{{2a}} < A,} \\ {f\left( A \right) < 0.} \end{array}} \right.\)
- Корни лежат по разные стороны от числа A, т.е. \({x_1} < A < {x_2},\) тогда и только тогда, когда
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0,} \\ {f\left( A \right) < 0} \end{array}\quad \quad } \right.\)или\(\quad \quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 0,} \\ {f\left( A \right) > 0.} \end{array}} \right.\)
При этом в пункте 2 нет необходимости проверять знак дискриминанта, так как он автоматически будет больше нуля.
- Оба корня больше числа A, т.е. \({x_1} > A\) и \({x_2} > A,\) тогда и только тогда, когда
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0,} \\ {{x_0} = — \frac{b}{{2a}} > A,} \\ {f\left( A \right) > 0} \end{array}\quad \quad } \right.\)или\(\quad \quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 0,} \\ {{x_0} = — \frac{b}{{2a}} > A,} \\ {f\left( A \right) < 0.} \end{array}} \right.\)
- Оба корня лежат между точками A и B, т.е. \(A < {x_1} < B\) и \(A < {x_2} < B,\) тогда и только тогда, когда
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0,} \\ {A < {x_0} = — \frac{b}{{2a}} < B,} \\ {f\left( A \right) > 0,} \\ {f\left( B \right) > 0} \end{array}} \right.\quad \quad \)или\(\quad \quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 0,} \\ {A < {x_0} = — \frac{b}{{2a}} < B,} \\ {f\left( A \right) < 0,} \\ {f\left( B \right) < 0.} \end{array}} \right.\)
- Корни лежат по разные стороны от отрезка \(\left[ {A;\,B} \right]\), т.е. \({x_1} < A < B < {x_2},\) тогда и только тогда, когда
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0,} \\ {f\left( A \right) < 0,} \\ {f\left( B \right) < 0} \end{array}\quad \quad } \right.\)или\(\quad \quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 0,} \\ {f\left( A \right) > 0,} \\ {f\left( B \right) > 0.} \end{array}} \right.\)
Утверждений, подобным утверждениям 1-5 в теореме 1, можно составить достаточно много. Ситуации в задачах могут возникнуть самые разнообразные: промежутки могут быть замкнутыми или открытыми (с одного или с двух концов), количество чисел, относительно которых рассматривается расположение корней, может быть три или четыре и т.д. Поэтому будет гораздо лучше, если к каждой конкретной задаче будет сделан рисунок и будут записаны все нужные условия, т.к. при наличии такого многообразия возможных ситуаций надо рассчитывать на понимание, которое появится в результате самостоятельного решения большого количества задач.
Пример 1. При каких значениях параметра a число 2 находится между корнями квадратного уравнения \({x^2} + \left( {4a + 5} \right)\,x + 3 — 2a = 0\)?
Решение. Воспользуемся теоремой 1 о расположении корней квадратного трехчлена (корни лежат по разные стороны от числа A, пункт 2). Для удовлетворения требованиям задачи достаточно выполнения одного условия:
\(f\left( 2 \right) = {2^2} + \left( {4a + 5} \right) \cdot 2 + 3 — 2a < 0\)
Решая которое, получим, что число 2 находится между корнями квадратного уравнения при \(a < — \frac{{17}}{6}\).
Пример 2. При каких значениях параметра a все корни уравнения \(\left( {2 — a} \right){x^2} — 3\,a\,\,x + 2a = 0\) больше \(\frac{1}{2}\)?
Решение. Если \(a = 2\), то получаем линейное уравнение \( — 6x + 4 = 0\), корень которого равен \(\frac{2}{3}\), а это больше \(\frac{1}{2}\), поэтому \(a = 2\) удовлетворяет условию задачи.
Воспользуемся теоремой 1 о расположении корней квадратного трехчлена (корни больше числа A, пункт 3). Для удовлетворения требованиям задачи достаточно выполнения следующих условий:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 — a > 0,} \\ {D \geqslant 0,} \\ {f\left( {\frac{1}{2}} \right) > 0,} \\ {{x_0} > \frac{1}{2},} \end{array}} \right.\) или \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 — a < 0,} \\ {D \geqslant 0,} \\ {f\left( {\frac{1}{2}} \right) < 0,} \\ {{x_0} > \frac{1}{2}.} \end{array}} \right.\)
Эта совокупность систем равносильна одной системе:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {D \geqslant 0,} \\ {\left( {2 — a} \right) \cdot f\left( {\frac{1}{2}} \right) > 0,} \\ {{x_0} > \frac{1}{2}.} \end{array}} \right.\)
Для нашего конкретного примера последняя система примет вид:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {17{a^2} — 16a \geqslant 0,} \\ {\left( {2 — a} \right) \cdot \frac{{a + 2}}{4} > 0,} \\ {\frac{{3a}}{{2\left( {2 — a} \right)}} > \frac{1}{2}.} \end{array}} \right.\)
Решение последней системы: \(a \in \left[ {\frac{{16}}{{17}};\,2} \right).\) Добавив к этому решению \(a = 2\), найденное в самом начале, окончательно получим: \(a \in \left[ {\frac{{16}}{{17}};\,2} \right].\)