Решение задач
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ
Если функция \(f\left( x \right)\) определена и непрерывна на промежутке X и во всех внутренних точках этого промежутка имеет положительную производную \(\left( {f’\left( x \right) > 0} \right)\), то функция возрастает на X.
Если функция \(f\left( x \right)\) определена и непрерывна на промежутке X и во всех внутренних точках этого промежутка имеет отрицательную производную \(\left( {f’\left( x \right) < 0} \right)\), то функция убывает на X.
Говорят, что функция \(y = f\left( x \right)\) имеет максимум (минимум) в точке \(x = a\), если у этой точки существует окрестность, в которой \(f\left( x \right) < f\left( a \right)\quad \left( {f\left( x \right) > f\left( a \right)} \right)\) для \(x \ne a\).
Точки максимума и минимума объединяются общим термином – точки экстремума.
Правило исследования функции \(y = f\left( x \right)\) на экстремум:
1. найти область определения функции;
2. найти \(f’\left( x \right)\);
3. найти точки, в которых выполняется равенство \(f’\left( x \right) = 0\);
4. найти точки, в которых \(f’\left( x \right)\) не существует;
5. отметить на координатной прямой все точки в которых производная равна 0 или не существует и область определения функции \(y = f\left( x \right)\); получатся промежутки области определения функции, на каждом из которых производная функции \(y = f\left( x \right)\) сохраняет постоянный знак;
6. определить знак \(f’\left( x \right)\) на каждом из промежутков;
7. если при переходе через точку производная \(f’\left( x \right)\) меняет знак с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума функции, а если с «-» на «+», то точкой минимума. На приведенном рисунке точка x1 является точкой максимума, а x2 точкой минимума.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции \(y = f\left( x \right)\) на отрезке :
1. найти \(f’\left( x \right)\);
2. найти точки, в которых \(f’\left( x \right) = 0\) или \(f’\left( x \right)\) не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка ;
3. вычислить значение функции \(y = f\left( x \right)\) в точках, полученных в пункте 2, и на концах отрезка (в точках a и b) и далее выбрать из них наибольшее и наименьшее, которые будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции \(y = f\left( x \right)\) на отрезке . Эти значения обозначаются \({y_{наим}},\;{y_{наиб}}\).