Скачать файл в формате pdf.


Линейные уравнения и приводимые к ним уравнения с параметрами

Задача 1. Решите уравнение при всех значениях параметра а:  \(\left( {2a — 4} \right)x = 3a + 1\).

Ответ

ОТВЕТ: нет решений при \(a = 2\); \(x = \frac{{3a + 1}}{{2a — 4}}\) при \(a \ne 2\).
Задача 2. Решите уравнение при всех значениях параметра а:  \({a^2}x — 5a = 9x — 15\).

Ответ

ОТВЕТ: нет решений при \(a =  — 3;\) \(x \in R\) при \(a = 3;\) \(x = \frac{5}{{a + 3}}\) при \(a \ne  \pm 3.\)  
Задача 3. Решите уравнение при всех значениях параметра а:  \(\left( {{a^2} — 2a + 1} \right)x = {a^2} + 2a — 3.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(x \in R\) при \(a = 1;\) \(x = \frac{{a + 3}}{{a — 1}}\) при \(a \ne 1.\)
Задача 4. Решите уравнение при всех значениях параметра а:  \({a^2}\left( {x — 2} \right) = x + a — 3.\)

Ответ

ОТВЕТ: нет решений при \(a =  — 1;\) \(x \in R\) при \(a = 1;\) \(x = \frac{{2a + 3}}{{a + 1}}\) при \(a \ne  \pm 1.\)
Задача 5. Решите уравнение при всех значениях параметра а:  \(\frac{{a + 2}}{{x — 2}} = a — 1.\)

Ответ

ОТВЕТ: нет решений при \(a = 1,\,\,\,a =  — 2;\) \(x = \frac{{3a}}{{a — 1}}\) при \(a \ne 1,\,\,\,\,a \ne  — 2.\)
Задача 6. Решите уравнение при всех значениях параметра а:  \(\frac{{a + 3}}{{a + 2}} = \frac{2}{x} — \frac{5}{{x\left( {a + 2} \right)}}.\)

Ответ

ОТВЕТ: нет решений при \(a =  — 3,\,\,\,\,a =  — 2,\,\,\,\,a = \frac{1}{2};\) \(x = \frac{{2a — 1}}{{a + 3}}\) при \(a \ne  — 3,\,\,\,\,\,a \ne  — 2,\,\,\,\,\,a \ne \frac{1}{2}.\)
Задача 7. Решите уравнение при всех значениях параметра а:  \(1 + \frac{1}{{a\,x}} = \frac{1}{x} — \frac{3}{a}.\)

Ответ

ОТВЕТ: нет решений при \(a =  — 3,\,\,\,\,a = 0,\,\,\,\,a = 1;\) \(x = \frac{{a — 1}}{{a + 3}}\) при \(a \ne  — 3,\,\,\,\,\,a \ne 0,\,\,\,\,\,a \ne 1.\)
Задача 8. Решите уравнение при всех значениях параметров а и b:  \(\frac{{1 + x}}{{1 — x}} = \frac{a}{b}.\)

Ответ

ОТВЕТ: нет решений при  \(a =  — b\)  или  \(b = 0;\)  \(x = \frac{{a — b}}{{a + b}}\) при   \(a \ne  — b\,,\,\,\,\,b \ne 0.\)
Задача 9. При каких значениях параметра а уравнение  \(\left( {{a^6} + 12a — 40} \right)x = {a^2} + a — 2\)  имеет бесконечное число решений?

Ответ

ОТВЕТ: -2.
Задача 10. При каких значениях параметра а уравнение  \(\left( {3{a^2} — a — 2} \right)x = 6a + 4\)  не имеет решений?

Ответ

ОТВЕТ: 1.
Задача 11. При каких значениях параметра а все решения уравнения  \(\left( {{a^2} + a} \right)x = 2{a^2} + 3a\)  удовлетворяют условию  \(x > 1\)?

Ответ

ОТВЕТ: \(a \in \left( { — \infty ; — 2} \right) \cup \left( { — 1;0} \right) \cup \left( {0;\infty } \right).\)
Задача 12. При каких значениях параметра а все решения уравнения  \(a\left( {a + 2x} \right) = 7x + 2a + 5\)  удовлетворяют условию  \(x \geqslant  — 3\)?

Ответ

ОТВЕТ: \(a \in \left( { — \infty ;\,\,3,5} \right) \cup \left\{ 4 \right\}.\)

Линейные неравенства и приводимые к ним неравенства с параметрами

Задача 1. Решите неравенство при всех значениях параметра а:  \(ax \leqslant 1\).

Ответ

ОТВЕТ:  \(x \in R\) при \(a = 0\); \(x \in \left( { — \infty ;\frac{1}{a}} \right]\) при \(a > 0\);  \(x \in \left[ {\frac{1}{a};\,\,\infty } \right)\)  при \(a < 0\).
Задача 2. Решите неравенство при всех значениях параметра а:  \(\frac{1}{x} > \frac{1}{a}\).

Ответ

ОТВЕТ:  нет решений при \(a = 0;\)  \(0 < x < a\) при \(a > 0\); \(x < a\) или \(x > 0\) при \(a < 0\).
Задача 3. Решите неравенство при всех значениях параметра а:  \(\left( {{a^2} — a} \right)x < 3 — 3a\).

Ответ

ОТВЕТ:  \(x \in R\) при \(a = 0;\) нет решений при \(a = 1\); \(x \in \left( { — \frac{3}{a};\infty } \right)\) при \(a \in \left( {0;1} \right)\); \(x \in \left( { — \infty ; — \frac{3}{a}} \right)\) при \(a \in \left( { — \infty ;0} \right) \cup \left( {1;\infty } \right)\).
Задача 4. Решите неравенство при всех значениях параметра а:  \({a^2} + ax < 1 — x\).

Ответ

ОТВЕТ:  нет решений при \(a =  — 1;\) \(x \in \left( { — \infty ;1 — a} \right)\) при \(a >  — 1\); \(x \in \left( {1 — a;\infty } \right)\) при \(a <  — 1\).
Задача 5. Решите неравенство при всех значениях параметра а:  \(3\left( {a — 2x} \right) < ax + 1\).

Ответ

ОТВЕТ:  \(x \in R\) при \(a =  — 6;\) \(x < \frac{{3a — 1}}{{a + 6}}\) при \(a <  — 6\); \(x > \frac{{3a — 1}}{{a + 6}}\) при \(a >  — 6\).
Задача 6. Решите неравенство при всех значениях параметра а:  \(2{a^2}x — 2a + 2 > \left( {a + 1} \right)x\).

Ответ

ОТВЕТ:  нет решений при \(a = 1;\) \(x \in R\) при \(a =  — \frac{1}{2};\) \(x > \frac{2}{{2a + 1}}\) при \(a \in \left( { — \infty ; — \frac{1}{2}} \right) \cup \left( {1;\infty } \right);\) \(x < \frac{2}{{2a + 1}}\) при \(a \in \left( { — \frac{1}{2};1} \right).\)
Задача 7. Решите неравенство при всех значениях параметра а:  \(a\left( {a\,x — 1} \right) \geqslant x + 1.\)

Ответ

ОТВЕТ:  нет решений при \(a = 1;\) \(x \in R\) при \(a =  — 1;\) \(x \geqslant \frac{1}{{a — 1}}\) при \(a \in \left( { — \infty ; — 1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right);\) \(x \leqslant \frac{1}{{a — 1}}\) при \(a \in \left( { — 1;1} \right).\)
Задача 8. Решите неравенство при всех значениях параметра а:  \(4\,x\,{a^2} — (17x + 4)\,a + 4x + 1 \geqslant 0.\)

Ответ

ОТВЕТ:  нет решений при \(a = 4;\) \(x \in R\) при \(a = 0,25;\) \(x \geqslant \frac{1}{{a — 4}}\) при \(a \in \left( { — \infty ;0,25} \right) \cup \left( {4;\infty } \right);\) \(x \leqslant \frac{1}{{a — 4}}\) при \(a \in \left( {0,25;4} \right).\)
Задача 9. Решите неравенство при всех значениях параметра а:  \(5\,x\,{a^2} — (26x + 1)\,a + 5x + 5 \leqslant 0.\)

Ответ

ОТВЕТ:  нет решений при \(a = 0,2;\) \(x \in R\) при \(a = 5;\) \(x \geqslant \frac{1}{{5a — 1}}\) при \(a \in \left( {0,2;\,\,5} \right);\) \(x \leqslant \frac{1}{{5a — 1}}\) при \(a \in \left( { — \infty ;0,2} \right) \cup \left( {5;\infty } \right).\)
Задача 10. Решите неравенство при всех значениях параметра а:  \(\frac{{a\,x}}{{a — 2}} — \frac{{x — 1}}{3} < \frac{{2x + 3}}{4}.\)

Ответ

ОТВЕТ:  нет решений при \(a = 2\);  \(x \in R\) при \(a =  — 10;\) \(x > \frac{{5\left( {a — 2} \right)}}{{2\left( {a + 10} \right)}}\) при \(a \in \left( { — 10;2} \right);\) \(x < \frac{{5\left( {a — 2} \right)}}{{2\left( {a + 10} \right)}}\) при \(a \in \left( { — \infty ; — 10} \right) \cup \left( {2;\infty } \right).\)
Задача 11. Решите неравенство при всех значениях параметров а и b:  \(a\,x < b.\)

Ответ

ОТВЕТ:  нет решений при \(a = 0,\,\,\,b \leqslant 0;\) \(x \in R\) при \(a = 0,\,\,\,\,b > 0;\) \(x < \frac{b}{a}\) при \(a \in \left( {0;\infty } \right),\,\,\,\,b \in R;\) \(x > \frac{b}{a}\) при \(a \in \left( { — \infty ;0} \right),\,\,\,\,\,b \in R.\)
Задача 12. Решите неравенство при всех значениях параметров а и b:  \(a\,x — 2a > b\,x — 2b.\)

Ответ

ОТВЕТ:  нет решений при \(a = b;\)  \(x > 2\) при \(a > b;\) \(x < 2\) при \(a < b.\)

Линейные системы уравнений и приводимые к ним системы уравнений с параметрами

Задача 1. Решите систему уравнений при всех значениях параметра a: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {5x + a\,y = 2a + 1,} \\   {\left( {a + 1} \right)\,\,x + 4y = 9.}\end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ:  нет решений при \(a =  — 5\); бесконечное множество решений при \(a = 4\); \(x = \frac{1}{{a + 5}},\,\,\,y = \frac{{2a + 11}}{{a + 5}}\) при \(a \ne  — 5,\,\,\,a \ne 4.\)
Задача 2. При каких значениях параметра a система уравнений  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {2x + \left( {a — 1} \right)\,y = 3,\,\,\,} \\   {\left( {a + 1} \right)\,\,x + 4y =  — 3} \end{array}} \right.\)  не имеет решений?

Ответ

ОТВЕТ:  3.
Задача 3. При каких значениях параметра a решение системы уравнений  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x + y = a,\,} \\   {2\,x — y = 3} \end{array}} \right.\)  удовлетворяет также неравенству  \(x > y?\)

Ответ

ОТВЕТ:  \(a \in \left( { — \infty ;\,6} \right).\)
Задача 4. При каких значениях параметра a система уравнений  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3x + y = b,} \\   {b\,x — y = a} \end{array}} \right.\)  имеет хотя бы одно решение при любых значениях параметра b?

Ответ

ОТВЕТ:  3.
Задача 5. При каких значениях параметра a система уравнений  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3x — 6y = 1,} \\   {5x — a\,y = 2} \end{array}} \right.\)  имеет решения \(x < 0,\,\,\,y < 0\)?

Ответ

ОТВЕТ:  \(a \in \left( {10;12} \right).\)
Задача 6. При каких значениях параметра a система уравнений  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\left( {2{a^2} — 11a} \right)x — 25y = 2{a^2} — 13a — 30,} \\   {8x — 5y = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \end{array}} \right.\)  имеет не менее семи решений?

Ответ

ОТВЕТ:  -2,5.
Задача 7. При каких значениях параметра a система уравнений  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\left( {9{a^2} — 49a} \right)x + 36y = 9{a^2} — 58a + 44,} \\   {9y — 5x = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \end{array}} \right.\)  имеет не менее четырех решений?

Ответ

ОТВЕТ:  4/9.
Задача 8. Решите систему уравнений при всех значениях параметра a: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x + 7y = 2,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \\   {3x + y = a,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \\   {3x + 13y = {a^2} + 3a.} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ:  \(\left( {0,25;\,0,25} \right)\) при \(a = 1;\) \(\left( { — 1,36;\,0,48} \right)\) при \(a =  — 3,6;\) нет решений при \(a \ne  — 3,6,\,\,\,\,\,a \ne 1.\)
Задача 9. Решите систему уравнений при всех значениях параметра a: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x + y = 2,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \\   {2x — y = a,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \\   {4x — y = {a^2} + 2a.} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ:  \(\left( {1;\,1} \right)\) при \(a = 1;\) \(\left( {\frac{2}{9};\,\frac{{16}}{9}} \right)\) при \(a =  — \frac{4}{3};\) нет решений при \(a \ne  — \frac{4}{3},\,\,\,\,\,a \ne 1.\)
Задача 10. При каких значениях параметра a система уравнений  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3x + y = b,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \\   {2\,b\,x — 2y = a + 4} \end{array}} \right.\)  имеет решения при любом значении параметра b?

Ответ

ОТВЕТ:  2.
Задача 11. При каких значениях параметра b система уравнений  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3\,x — a\,y = b,} \\   {2\,x + y = a\,\,\,\,} \end{array}} \right.\)  имеет хотя бы одно решение при любом значении параметра а?

Ответ

ОТВЕТ:  -9/4.
Задача 12. При каких значениях параметра a, для каждого из которых числа x и y, удовлетворяющие системе уравнений  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3x + y = a,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \\   {x + 2y = 2a + 1} \end{array}} \right.\)  удовлетворяют также неравенству \(x > 3y\)?

Ответ

ОТВЕТ:  \(a \in \left( { — \infty ; — \frac{2}{3}} \right).\)

Текстовое решение задач:

1B 2B 3B 4B 5B 6B 7B 8B 9B 10B
11B 12B 13B 14B 15B 16B 17B 18B 19B 20B
21B 22B 23B 24B 25B 26B 27B 28B 29B 30B
31B 32B 33B 34B 35B 36B